Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 t1+t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial
y''+4y'+4y = e^-2t1+t^2
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para construir uma particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+4y'+4y=0
A equação característica é
r^2+4r+4=0Longrightarrow (r+2)^2=0,
logo há raiz dupla r=-2. Dois solutos fundamentais são
y1(t)=e^-2t, y2(t)=t,e^-2t

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com
u1'=-y2(t),g(t)W(t), u2'=y1(t),g(t)W(t),
onde g(t)=dfrace^-2t1+t^2 e W é o Wronskiano de y1,y2:
W(t)= y1 & y2 y1'&y2' = e^-2tcdot(1-2t)e^-2t-(-2e^-2t)cdot t e^-2t =e^-4t
Então
u1'=-t e^-2t,l(e^-2t/(1+t^2)r)e^-4t =-t1+t^2, u2'=e^-2t,l(e^-2t/(1+t^2)r)e^-4t =11+t^2

Passo 4

Integramos para obter u1,u2. Podemos desprezar constantes de integração (elas cairão na homogênea):
u1(t)=integral -t1+t^2,dt =-12lnl(1+t^2r), u2(t)=integral 11+t^2,dt =arctan(t)

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) = u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) =-tfrac12lnl(1+t^2r),e^-2t +arctan(t);l(t,e^-2tr) =e^-2tl(tarctan(t)-tfrac12ln(1+t^2)r)
Assim a solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) =(C1+C2t)e^-2t +e^-2tl(tarctan(t)-tfrac12ln(1+t^2)r)

Resposta

boxedy(t)=e^-2tl(C1+C2t+tarctan(t)-tfrac12ln(1+t^2)r)

Exercícios relacionados