Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x in Df sendo g dada por
g(x)=x^2-2 x, x >= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar f tal que
gl(f(x)r)=x
para todo x em Df, sendo
g(x)=x^2-2x, x>=1
O conteúdo é inversão de função: precisamos verificar que g é bijetora em [1,infty) e então resolver a equação g(y)=x.

Passo 2

Analisamos g em Dg=[1,infty):
g'(x)=2x-2>=0para x>=1,
ou seja, g é estritamente crescente e, portanto, injetora. Além disso,
g(1)=1^2-2cdot1=-1,
e limxtoinftyg(x)=+infty. Logo a imagem de g é
Im(g)=[-1,infty),
e esta será a definição natural do domínio de f:
Df=[-1,infty)

Passo 3

Para obter f, resolvemos a equação
g(y)=x Long<=ftrightarrow y^2-2y=x Long<=ftrightarrow y^2-2y-x=0
Aplicando a fórmula de Bháskara,
y =2pmraiz4+4x2 =1pmraiz1+x
Como queremos y>=1 (domínio de g), escolhemos o sinal +. Assim
f(x)=1+raiz1+x, x>=-1

Resposta

f(x)=1+raiz1+x, Df=[-1,infty)

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