Determine o módulo do campo elétrico dentro e fora do material de uma casca esférica de raio interno a e raio externo b, cuja densidade volumétrica de carga é dada por rho(r)=rho0(1-a / r), onde rho0 é uma constante e r é a distância ao centro da casca.

Passo 1

Temos uma casca esférica com raio interno a e externo b, densidade volumétrica de carga rho(r)=rho0l(1-tfracarr). O problema é achar o módulo do campo elétrico E(r) em três regiões: r<a, a<r<b e r>b. Pelo caráter esférico e simetria, usaremos a Lei de Gauss para um cilindro gaussiano esférico de raio r.

Passo 2

Para r<a não há carga no interior da superfície gaussiana, pois toda a carga está na casca entre a e b. Logo, o fluxo de E é zero e, pela Lei de Gauss,
Qrm encl=0 Longrightarrow E(r)=0para r<a

Passo 3

Para a<r<b, a carga internamente à esfera de raio r é
Qrm encl(r) =integralVato rrho(r'), dV =4piintegrala^rrho0l(1-ar'r),r'^2dr'
Separando a integral,
Qrm encl(r) =4pirho0 integrala^rl(r'^2-a,r'r)dr' =4pirho0l[r'^33-a,r'^22r]a^r =4pirho0l(r^33-a,r^22+a^36r)

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss numa esfera de raio r ( a<r<b),
E(r),4pi r^2 =Qrm encl(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r) =14pivarepsilon0, Qrm encl(r)r^2 =rho0varepsilon0, r^33-a,r^22+a^36r^2

Passo 5

Para r>b toda a carga da casca está concentrada dentro de r. O total é Qrm tot=Qrm encl(b):
Qrm tot =4pirho0l(b^33-a,b^22+a^36r),
e pelo mesmo argumento de Gauss,
E(r)=14pivarepsilon0, Qrm totr^2 para r>b

Resposta

Para o módulo do campo elétrico,
E(r)= 0, & r<a,[6pt] rho0varepsilon0, r^33-a,r^22+a^36r^2, & a<r<b,[10pt] 14pivarepsilon0, 4pirho0l(b^33-a,b^22+a^36r)r^2, & r>b ]

Exercícios relacionados