Sejam
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo números complexos
e
:
O conteúdo principal aqui é a desigualdade triangular para números complexos, que diz que para quaisquer
vale
Também vamos usar a mesma desigualdade aplicada de maneira ligeiramente diferente para obter a parte com diferença de módulos.
Passo 2
Para a desigualdade à direita, basta aplicar diretamente a desigualdade triangular a
e
. Temos
Isso já mostra a parte superior do intervalo.
Passo 3
Para obter a desigualdade à esquerda, escrevemos
como
. Então, pela desigualdade triangular,
Rearranjando, obtemos
Passo 4
Análogo ao passo anterior, escrevemos
. Logo,
e rearranjando dá
Dessas duas últimas desigualdades segue que