Sejam z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}. Mostre que
\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right| \leq\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo números complexos z_{1} e z_{2}:
\bigl|\;|z_{1}| - |z_{2}|\bigr| \le |z_{1} + z_{2}| \le |z_{1}| + |z_{2}|.
O conteúdo principal aqui é a desigualdade triangular para números complexos, que diz que para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale
|a+b|\le|a|+|b|.
Também vamos usar a mesma desigualdade aplicada de maneira ligeiramente diferente para obter a parte com diferença de módulos.

Passo 2

Para a desigualdade à direita, basta aplicar diretamente a desigualdade triangular a z_{1} e z_{2}. Temos
|z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|.
Isso já mostra a parte superior do intervalo.

Passo 3

Para obter a desigualdade à esquerda, escrevemos z_{1} como (z_{1}+z_{2}) - z_{2}. Então, pela desigualdade triangular,
|z_{1}| = |(z_{1}+z_{2}) - z_{2}| \le |z_{1}+z_{2}| + |z_{2}|.
Rearranjando, obtemos
|z_{1}| - |z_{2}| \le |z_{1}+z_{2}|.

Passo 4

Análogo ao passo anterior, escrevemos z_{2} = (z_{1}+z_{2}) - z_{1}. Logo,
|z_{2}| \le |z_{1}+z_{2}| + |z_{1}|
e rearranjando dá
|z_{2}| - |z_{1}| \le |z_{1}+z_{2}|.
Dessas duas últimas desigualdades segue que
-|\,|z_{1}| - |z_{2}|\,| \le |z_{1}+z_{2}|\quad\text{e}\quad |z_{1}+z_{2}|\ge |\,|z_{1}| - |z_{2}|\,|.

Resposta

\bigl|\;|z_{1}| - |z_{2}|\bigr| \le |z_{1} + z_{2}| \le |z_{1}| + |z_{2}|.

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