Questão 3 (5,0) Utilize a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t), \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0,\end{array} \quad\right.\) sendo \(\quad f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<10 . \\\\ 0, & t \geq 10 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+3y'+2y=f(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
onde
f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t<10,\\\\ 0,&t\ge10. \end{cases}
O conteúdo é ODE linear forçada, e vamos usar transformada de Laplace e função degrau.

Passo 2

Reescrevemos f(t) com a função degrau unitária u(t-10). Como f(t)=1 até t=10 e 0 depois,
f(t)=1 - u(t-10).

Passo 3

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados, usando y(0)=0 e y'(0)=0, temos
\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{f(t)\}
s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s) =\frac{1}{s}-\frac{e^{-10s}}{s}
ou seja
Y(s)\bigl(s^2+3s+2\bigr) =\frac{1}{s}-\frac{e^{-10s}}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{1/s}{s^2+3s+2} -\frac{e^{-10s}/s}{s^2+3s+2}.

Passo 4

Fatoramos s^2+3s+2=(s+1)(s+2) e decompomos
\frac{1}{s(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando por s(s+1)(s+2) e avaliando em s=0,-1,-2
A=\tfrac12,\quad B=-1,\quad C=\tfrac12,
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\frac{1}{s(s+1)(s+2)} =\frac{1/2}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1/2}{s+2}.

Passo 5

Invertendo a primeira parte (sem o atraso),
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s(s+1)(s+2)}\Bigr\} =\tfrac12-\mathrm e^{-t}+\tfrac12\,\mathrm e^{-2t} \equiv y_1(t).

Passo 6

Para o termo com e^{-10s} usamos o teorema do atraso:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-10s}F(s)\} =y_1(t-10)\,u(t-10).
Portanto a solução completa é
y(t)=y_1(t)-y_1(t-10)\,u(t-10).

Resposta

Em forma piecewise,
y(t)= \begin{cases} \tfrac12-\mathrm e^{-t}+\tfrac12\,\mathrm e^{-2t},&0\le t<10,\\\ \bigl(\tfrac12-\mathrm e^{-t}+\tfrac12\,\mathrm e^{-2t}\bigr) -\bigl(\tfrac12-\mathrm e^{-(t-10)}+\tfrac12\,\mathrm e^{-2(t-10)}\bigr), &t\ge10. \end{cases}

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