Determine o módulo, direção e sentido do vetor resultante da soma dos vetores:
A=-3 i+2 j ; \quad B=2 i+3 j ; \quad C=-i+-2 j

Passo 1

O enunciado pede o vetor resultante da soma de
\mathbf{A}=-3\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j},
\mathbf{B}=2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j} e
\mathbf{C}=-1\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j},
e, em seguida, seu módulo, direção e sentido. Vamos usar:
  1. soma componente a componente;
  2. fórmula do módulo de um vetor em \mathbb{R}^2;
  3. cálculo de vetor unitário e ângulo com o eixo x;
  4. interpretação do sentido segundo o quadrante.

Passo 2

Somamos as componentes x e y separadamente:
\mathbf{R}=\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C} =(-3+2-1)\,\mathbf{i}+(2+3-2)\,\mathbf{j} =-2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}.

Passo 3

O módulo de \mathbf{R}=-2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j} é
|\mathbf{R}|=\sqrt{(-2)^2+3^2} =\sqrt{4+9} =\sqrt{13}.

Passo 4

A direção pode ser dada pelo vetor unitário
\hat{\mathbf{R}}=\frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|} =\frac{-2}{\sqrt{13}}\,\mathbf{i}+\frac{3}{\sqrt{13}}\,\mathbf{j},
ou pelo ângulo \theta que \mathbf{R} forma com o eixo x.
Primeiro calculamos
\alpha=\arctan\bigl|\tfrac{3}{-2}\bigr|=\arctan\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx56{,}31^\circ.
Como \mathbf{R} está no segundo quadrante ( x<0,y>0),
\theta=180^\circ-\alpha\approx180^\circ-56{,}31^\circ=123{,}69^\circ.

Passo 5

O sentido do vetor é “do ponto de origem em direção ao ponto (-2,3)”, ou seja, apontando para o segundo quadrante.

Resposta

Módulo: \sqrt{13}
Direção: vetor unitário \displaystyle \frac{-2}{\sqrt{13}}\mathbf{i}+\frac{3}{\sqrt{13}}\mathbf{j} e ângulo \approx123{,}69^\circ em relação ao eixo x positivo
Sentido: do ponto (0,0) em direção ao ponto (-2,3), compatível com o segundo quadrante

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