Questão 02: Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
( 1,5 ponto)
\int \frac{e^{1 / x}+5}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{1/x} + 5}{x^{2}}\,dx.
Este problema envolve duas partes: usar substituição para o termo com e^{1/x} e a regra de potência para o termo com 5/x^{2}.

Passo 2

Separe a integral em duas parcelas:
\int \frac{e^{1/x} + 5}{x^{2}}\,dx = \int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx + 5\int \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calcule \displaystyle \int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição
t = \frac{1}{x}, \qquad dt = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \;\Rightarrow\; \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\,dt,
temos
\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = \int e^{t}\,(-dt) = -\int e^{t}\,dt = -e^{t} = -e^{1/x}.

Passo 4

Calcule \displaystyle 5\int \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Usando a regra de potência,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1},
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5\int x^{-2}\,dx = 5\bigl(-x^{-1}\bigr) = -\frac{5}{x}.

Passo 5

Reunindo os resultados das duas parcelas, obtemos
\int \frac{e^{1/x} + 5}{x^{2}}\,dx = -e^{1/x} - \frac{5}{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-e^{1/x} - \frac{5}{x} + C

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