Questão 02: Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
(2 pontos) \int e^{2 x} \cdot \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{2x}\cos x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, aplicada duas vezes, e depois resolvemos uma equação para a própria integral.

Passo 2

Denotemos
I = \int e^{2x}\cos x\,dx.
Fazendo integração por partes com
\displaystyle u = e^{2x} e \displaystyle dv = \cos x\,dx, temos
\displaystyle du = 2e^{2x}\,dx e \displaystyle v = \sin x.
Logo,
I = e^{2x}\sin x - \int 2e^{2x}\sin x\,dx = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx.
Chamemos agora
J = \int e^{2x}\sin x\,dx.

Passo 3

Para J, aplicamos integração por partes com
\displaystyle u = e^{2x} e \displaystyle dv = \sin x\,dx.
Então
\displaystyle du = 2e^{2x}\,dx e \displaystyle v = -\cos x,
e obtemos
J = -\,e^{2x}\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,2e^{2x}\,dx = -e^{2x}\cos x + 2\int e^{2x}\cos x\,dx = -\,e^{2x}\cos x + 2I.

Passo 4

Voltando a I, temos
I = e^{2x}\sin x - 2J = e^{2x}\sin x - 2\bigl(-e^{2x}\cos x + 2I\bigr) = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x - 4I.
Reagrupando os termos em I:
I + 4I = 5I = e^{2x}\bigl(\sin x + 2\cos x\bigr),
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I = \frac{e^{2x}}{5}\,\bigl(\sin x + 2\cos x\bigr) + C.

Resposta

\int e^{2x}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}}{5}\,\bigl(\sin x + 2\cos x\bigr) + C.

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