Um disco de raio a e centro na origem está no plano x y e contém uma densidade superficial de carga \sigma. Determine o campo elétrico num ponto P situado em \mathrm{P}(0,0, z), nos seguintes casos:
\sigma=k \rho^{2}, onde k é uma constante.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de raio a, centrado na origem do plano xy, com densidade superficial de carga
\sigma(\rho)=k\,\rho^2,
onde \rho é a coordenada radial no disco. Precisamos calcular o campo elétrico no ponto P(0,0,z) sobre o eixo z. Vamos usar simetria axial e integrar anéis concêntricos.

Passo 2

Considere um anel de raio \rho e espessura d\rho. A área desse anel é
\;dA=2\pi\,\rho\,d\rho
e a carga elementar é
\;dq=\sigma(\rho)\,dA=2\pi\,k\,\rho^3\,d\rho.
Por simetria, o campo resultante aponta ao longo de \hat z e seu elemento dE_z devido a esse anel vale

Passo 3

dE_z =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\; \frac{dq\;\bigl(z\bigr)}{\bigl(\rho^2+z^2\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\; \frac{2\pi\,k\,\rho^3\,d\rho\;z}{\bigl(\rho^2+z^2\bigr)^{3/2}} =\frac{k\,z}{2\varepsilon_0}\;\frac{\rho^3\,d\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}.
Portanto, o componente axial do campo é
E_z =\int_0^a dE_z =\frac{k\,z}{2\varepsilon_0} \int_0^a\frac{\rho^3\,d\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Para avaliar a integral use a substituição \;u=\rho^2+z^2\Rightarrow du=2\rho\,d\rho.
Então
\rho^3\,d\rho =\rho^2\;\rho\,d\rho =(u-z^2)\,\frac{du}{2},
e a integral torna-se
\int_0^a\frac{\rho^3\,d\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}} =\frac12 \int_{u=z^2}^{u=a^2+z^2} \frac{u-z^2}{u^{3/2}}\,du =\frac12\Bigl[\, \int_{z^2}^{a^2+z^2}u^{-1/2}du -z^2\int_{z^2}^{a^2+z^2}u^{-3/2}du \Bigr].
Calculando cada termo:
\int u^{-1/2}du=2u^{1/2}, \quad \int u^{-3/2}du=-2u^{-1/2}.
Logo a integral vale
\frac12\Bigl[2\sqrt{u}+2\,\frac{z^2}{\sqrt{u}}\Bigr]_{z^2}^{a^2+z^2} =\Bigl[\sqrt{u}+\frac{z^2}{\sqrt{u}}\Bigr]_{z^2}^{a^2+z^2} =\sqrt{a^2+z^2}+\frac{z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z.

Passo 5

Substituindo em E_z obtemos
E_z =\frac{k\,z}{2\varepsilon_0} \Bigl(\sqrt{a^2+z^2}+\frac{z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z\Bigr).
Esse resultado pode ficar um pouco mais compacto escrevendo o numerador sobre o mesmo denominador, mas a forma acima já deixa claro a contribuição dos termos.

Resposta

\boxed{\vec E(0,0,z) =E_z\,\hat z, \quad E_z =\frac{k\,z}{2\varepsilon_0} \Bigl(\sqrt{a^2+z^2}+\frac{z^2}{\sqrt{a^2+z^2}}-2z\Bigr).}

Exercícios relacionados