Um disco de raio
e centro na origem está no plano
e contém uma densidade superficial de carga
. Determine o campo elétrico num ponto
situado em
, nos seguintes casos:
, onde
é uma constante.
Passo 1
O enunciado descreve um disco de raio
, centrado na origem do plano
, com densidade superficial de carga
onde
é a coordenada radial no disco. Precisamos calcular o campo elétrico no ponto
sobre o eixo
. Vamos usar simetria axial e integrar anéis concêntricos.
Passo 2
Considere um anel de raio
e espessura
. A área desse anel é
e a carga elementar é
Por simetria, o campo resultante aponta ao longo de
e seu elemento
devido a esse anel vale
Passo 3
Portanto, o componente axial do campo é
Passo 4
Para avaliar a integral use a substituição
.
Então
Então
e a integral torna-se
Calculando cada termo:
Logo a integral vale
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Esse resultado pode ficar um pouco mais compacto escrevendo o numerador sobre o mesmo denominador, mas a forma acima já deixa claro a contribuição dos termos.