Um disco de raio a e centro na origem está no plano x y e contém uma densidade superficial de carga \sigma. Determine o campo elétrico num ponto P situado em \mathrm{P}(0,0, z), nos seguintes casos:
\sigma=k \rho, onde k é uma constante e \rho é a coordenada cilíndrica que mede a distância ao eixo z.

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio a no plano xy com densidade superficial de carga \sigma(\rho)=k\,\rho, onde \rho é a distância ao eixo z. Pede-se o campo elétrico em P(0,0,z). Vamos usar a Lei de Coulomb para distribuições contínuas e a simetria cilíndrica, decompondo o disco em anéis de raio \rho.

Passo 2

Considere um anel de raio \rho e espessura d\rho. A carga do anel é
dQ = \sigma(\rho)\,(\text{comprimento do anel})\,d\rho = k\,\rho\;\bigl(2\pi\rho\bigr)\,d\rho = 2\pi k\,\rho^2\,d\rho.
O campo desse anel em P tem apenas componente ao longo de z, dada por
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dQ\;z}{\bigl(z^2+\rho^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;2\pi k\,\rho^2\,\frac{z}{\bigl(z^2+\rho^2\bigr)^{3/2}}\,d\rho.

Passo 3

Somando (integrando) de \rho=0 até \rho=a obtemos
E_z = \int_{0}^{a} dE_z = \frac{k\,z}{2\varepsilon_0}\,\int_{0}^{a} \frac{\rho^2}{\bigl(z^2+\rho^2\bigr)^{3/2}}\,d\rho.

Passo 4

Para calcular
I = \int \frac{\rho^2}{(z^2+\rho^2)^{3/2}}\,d\rho
faça a substituição \rho = z\tan\theta, d\rho = z\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta. Então
z^2+\rho^2 = z^2\operatorname{sec}^2\theta, \quad \rho^2 = z^2\tan^2\theta,
e o integrando vira
\frac{z^2\tan^2\theta}{\bigl(z^2\operatorname{sec}^2\theta\bigr)^{3/2}} \;z\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \bigl(\operatorname{sec}\theta - \cos\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Integrando em \theta:
\int(\operatorname{sec}\theta - \cos\theta)\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| - \sin\theta + C.
Voltando a \rho:
\operatorname{sec}\theta = \frac{\sqrt{z^2+\rho^2}}{z}, \quad \tan\theta = \frac{\rho}{z}, \quad \sin\theta = \frac{\rho}{\sqrt{z^2+\rho^2}}.
Logo a integral definida é
\int_{0}^{a}\frac{\rho^2}{(z^2+\rho^2)^{3/2}}\,d\rho = \left[\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{z^2+\rho^2}+\rho}{z}\Bigr) - \frac{\rho}{\sqrt{z^2+\rho^2}}\right]_{0}^{a} = \ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{a^2+z^2}+a}{z}\Bigr) - \frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}.

Passo 6

Substituindo em E_z:
E_z = \frac{k\,z}{2\varepsilon_0}\, \Biggl[ \ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{a^2+z^2}+a}{z}\Bigr) - \frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}} \Biggr].
O campo total é \displaystyle \mathbf{E}=E_z\,\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{E}(0,0,z) = \frac{k\,z}{2\varepsilon_0}\, \Biggl[ \ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{a^2+z^2}+a}{z}\Bigr) - \frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}} \Biggr]\, \hat{\mathbf{z}}. }

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