Um disco de raio a e centro na origem está no plano x y e contém uma densidade superficial de carga \sigma. Determine o campo elétrico num ponto P situado em \mathrm{P}(0,0, z), nos seguintes casos: \sigma=k \rho, onde k é uma constante e \rho é a coordenada cilíndrica que mede a distância ao eixo z.
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio a no plano xy com densidade superficial de carga \sigma(\rho)=k\,\rho, onde \rho é a distância ao eixo z. Pede-se o campo elétrico em P(0,0,z). Vamos usar a Lei de Coulomb para distribuições contínuas e a simetria cilíndrica, decompondo o disco em anéis de raio \rho.
Passo 2
Considere um anel de raio \rho e espessura d\rho. A carga do anel é
dQ = \sigma(\rho)\,(\text{comprimento do anel})\,d\rho = k\,\rho\;\bigl(2\pi\rho\bigr)\,d\rho = 2\pi k\,\rho^2\,d\rho.
O campo desse anel em P tem apenas componente ao longo de z, dada por