Determine o momento de inércia das áreas em relação aos eixos xey.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia da área sombreada em relação ao eixo x (horizontal) e ao eixo y (vertical) que se cruzam no canto inferior esquerdo. A figura é um retângulo de largura 240,mm e altura 120,mm, do qual foi removida uma semi-circunferência de raio R=90,mm cujo “lado plano” (diâmetro) fica ao nível da face superior do retângulo. Para resolver usaremos método das áreas compostas: tratamos como
  1. Retângulo total (área positiva);
  2. Semi-círculo (área negativa).
    Em seguida aplicamos teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Momento de inércia do retângulo de largura b=240,mm e altura h=120,mm em relação ao eixo x (base inferior):
I_{x,\text{ret}} \;=\;\frac{b\,h^3}{3} \;=\;\frac{240\,(120)^3}{3} \;=\;138{,}24\times10^6\;\text{mm}^4.
E em relação ao eixo y (lateral esquerda):
I_{y,\text{ret}} \;=\;\frac{h\,b^3}{3} \;=\;\frac{120\,(240)^3}{3} \;=\;552{,}96\times10^6\;\text{mm}^4.

Passo 3

Área do semi-círculo removido:
A_s \;=\;\tfrac{\pi R^2}{2} \;=\;\tfrac{\pi\,(90)^2}{2} \;=\;4050\pi\;\text{mm}^2.
O centroide do semi-círculo (lado plano para cima) está a uma distância
d_y \;=\;120\;-\;\frac{4R}{3\pi} \;=\;120\;-\;\frac{4\cdot90}{3\pi} \;=\;120\Bigl(1-\tfrac1\pi\Bigr) \;\approx\;81{,}803\;\text{mm}
acima da base do retângulo, e a distância horizontal até o eixo y é
d_x \;=\;120\;\text{mm}.

Passo 4

Momento de inércia do semi-círculo em torno de seu eixo horizontal no centróide:
I_{x,c}(\text{semi}) \;=\;\frac{\pi R^4}{8}\;-\;\frac{8\,R^4}{9\pi} \;=\;\Bigl(\frac{\pi}{8}-\frac{8}{9\pi}\Bigr)R^4 \;\approx\;7{,}20\times10^6\;\text{mm}^4.
E o momento de inércia em torno de seu eixo vertical no centróide (eixo de simetria) vale
I_{y,c}(\text{semi}) \;=\;\frac{\pi R^4}{8} \;\approx\;25{,}76\times10^6\;\text{mm}^4.

Passo 5

Aplicando o teorema dos eixos paralelos para levar esses momentos até os eixos do retângulo:
I_{x,\text{semi,origem}} =I_{x,c}(\text{semi}) \;+\;A_s\,d_y^2 \;\approx\;7{,}20\times10^6\;+\;4050\pi\,(81{,}803)^2 \;\approx\;92{,}38\times10^6\;\text{mm}^4,
I_{y,\text{semi,origem}} =I_{y,c}(\text{semi}) \;+\;A_s\,d_x^2 \;\approx\;25{,}76\times10^6\;+\;4050\pi\,(120)^2 \;\approx\;209{,}04\times10^6\;\text{mm}^4.

Passo 6

Agora compomos:
I_x \;=\;I_{x,\text{ret}} \;-\;I_{x,\text{semi,origem}} \;=\;138{,}24\times10^6 \;-\;92{,}38\times10^6 \;=\;45{,}86\times10^6\;\text{mm}^4,
I_y \;=\;I_{y,\text{ret}} \;-\;I_{y,\text{semi,origem}} \;=\;552{,}96\times10^6 \;-\;209{,}04\times10^6 \;=\;343{,}92\times10^6\;\text{mm}^4.

Resposta

I_x \approx 4{,}586\times10^7\;\mathrm{mm}^4,\quad I_y \approx 3{,}439\times10^8\;\mathrm{mm}^4.

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