Determine os momentos de inércia de uma lâmina com densidade
que ocupa a região
triangular de vértices
e
.
6. Seja
a densidade de massa de um objeto sólido
, em unidade de massa por unidade de volume, que ocupa a região
do espaço. Definimos a
massa de
, em qualquer ponto (
), por
e o centro de massa
por
Determine a massa e o centro de massa do sólido
que tem densidade de massa
e ocupa do tetraedro
limitado pelos planos
e
.
6. Seja
massa de
Passo 1
Temos dois problemas:
- Uma lâmina de densidade constante
que ocupa o triângulo com vértices , e . Precisamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos e , e em relação à origem. - Um sólido
de densidade que ocupa o tetraedro limitado por , , e . Precisamos encontrar a massa e o centro de massa .
Para ambos os casos vamos usar integrais duplas ou triplas aplicando as definições de momento de inércia e de massa/centro de massa.
Passo 2
Momento de inércia em torno do eixo
:
Na lâmina, podemos tomar
de
a
e, para cada
,
de
a
. Logo
Fazendo
, obtemos
, daí
Passo 3
Momento de inércia em torno do eixo
:
Calculando,
logo
Passo 4
Momento de inércia em relação à origem (teorema dos eixos ortogonais):
Passo 5
Agora o sólido
. A massa é
Usando
de
a
,
de
a
e
de
a
, temos
Calculando a integral em
,
, e depois em
,
Passo 6
Centro de massa em
:
Análogo ao cálculo de
, chega-se a
. Logo
Passo 7
Centro de massa em
:
e um cálculo semelhante dá
. Então
Passo 8
Centro de massa em
:
e encontra-se
, portanto
Resposta
Iremos separar em duas partes:
Para a lâmina triangular de densidade constante
:
Para o tetraedro de densidade
: