Determine os momentos de inércia de uma lâmina com densidade \rho(x, y)=\rho que ocupa a região D triangular de vértices (0,0),(b, 0) e (0, h).
6. Seja \rho(x, y, z) a densidade de massa de um objeto sólido \mathcal{S}, em unidade de massa por unidade de volume, que ocupa a região E do espaço. Definimos a
massa de \mathcal{S}, em qualquer ponto ( x, y, z ), por
m=\iiint_{E} \rho(x, y, z) d x d y d z
e o centro de massa (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) por
\begin{aligned} & \bar{x}=\frac{1}{m} \iiint_{E} x \rho(x, y, z) d x d y d z \\\ & \bar{y}=\frac{1}{m} \iiint_{E} y \rho(x, y, z) d x d y d z \\\ & \bar{z}=\frac{1}{m} \iiint_{E} z \rho(x, y, z) d x d y d z \end{aligned}
Determine a massa e o centro de massa do sólido \mathcal{S} que tem densidade de massa \rho(x, y, z)=y e ocupa do tetraedro E limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.

Passo 1

Temos dois problemas:
  1. Uma lâmina de densidade constante \rho(x,y)=\rho que ocupa o triângulo D com vértices (0,0), (b,0) e (0,h). Precisamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y, e em relação à origem.
  2. Um sólido \mathcal{S} de densidade \rho(x,y,z)=y que ocupa o tetraedro E limitado por x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1. Precisamos encontrar a massa m e o centro de massa (\bar x,\bar y,\bar z).
Para ambos os casos vamos usar integrais duplas ou triplas aplicando as definições de momento de inércia e de massa/centro de massa.

Passo 2

Momento de inércia em torno do eixo x:
I_x \;=\;\iint_{D} y^2\,\rho\,dA
Na lâmina, podemos tomar x de 0 a b e, para cada x, y de 0 a h\bigl(1-\tfrac{x}{b}\bigr). Logo
I_x =\rho\int_{x=0}^{b}\int_{y=0}^{h(1-\frac{x}{b})}y^2\,dy\,dx =\rho\int_{0}^{b}\frac{\bigl[h\bigl(1-\tfrac{x}{b}\bigr)\bigr]^3}{3}\,dx =\frac{\rho\,h^3}{3}\int_{0}^{b}\Bigl(1-\tfrac{x}{b}\Bigr)^3dx.
Fazendo u=x/b, obtemos \int_{0}^{1}(1-u)^3b\,du=b/4, daí
I_x=\frac{\rho\,h^3}{3}\cdot\frac{b}{4} =\frac{\rho\,b\,h^3}{12}.

Passo 3

Momento de inércia em torno do eixo y:
I_y \;=\;\iint_{D} x^2\,\rho\,dA =\rho\int_{0}^{b}\int_{0}^{h(1-\frac{x}{b})}x^2\,dy\,dx =\rho\int_{0}^{b}x^2\bigl[h(1-\tfrac{x}{b})\bigr]dx =\rho\,h\int_{0}^{b}\bigl(x^2 - \tfrac{x^3}{b}\bigr)dx.
Calculando,
\int_{0}^{b}x^2dx=\frac{b^3}{3},\quad \int_{0}^{b}x^3dx=\frac{b^4}{4},
logo
I_y =\rho\,h\Bigl(\frac{b^3}{3}-\frac{b^3}{4}\Bigr) =\frac{\rho\,b^3\,h}{12}.

Passo 4

Momento de inércia em relação à origem (teorema dos eixos ortogonais):
I_O = I_x + I_y =\frac{\rho\,b\,h^3}{12}+\frac{\rho\,b^3\,h}{12} =\frac{\rho\,b\,h\,(h^2+b^2)}{12}.

Passo 5

Agora o sólido \mathcal{S}. A massa é
m=\iiint_{E}\rho(x,y,z)\,dV =\iiint_{E}y\,dV.
Usando x de 0 a 1, y de 0 a 1-x e z de 0 a 1-x-y, temos
m =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}y\,dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}y\bigl(1-x-y\bigr)\,dy\,dx.
Calculando a integral em y, \int_{0}^{1-x}y(1-x-y)dy=\tfrac{(1-x)^3}{6}, e depois em x,
m=\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^3}{6}\,dx =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{24}.

Passo 6

Centro de massa em x:
\bar x =\frac{1}{m}\iiint_{E}x\,\rho\,dV =\frac{1}{m}\iiint_{E}x\,y\,dV.
Análogo ao cálculo de m, chega-se a \iiint_{E}x\,y\,dV=\tfrac{1}{120}. Logo
\bar x =\frac{1}{(1/24)}\cdot\frac{1}{120} =24\cdot\frac{1}{120} =\frac15.

Passo 7

Centro de massa em y:
\bar y =\frac{1}{m}\iiint_{E}y\,\rho\,dV =\frac{1}{m}\iiint_{E}y^2\,dV
e um cálculo semelhante dá \iiint_{E}y^2\,dV=\tfrac{1}{60}. Então
\bar y =24\cdot\frac{1}{60} =\frac{2}{5}.

Passo 8

Centro de massa em z:
\bar z =\frac{1}{m}\iiint_{E}z\,\rho\,dV =\frac{1}{m}\iiint_{E}y\,z\,dV
e encontra-se \iiint_{E}y\,z\,dV=\tfrac{1}{120}, portanto
\bar z =24\cdot\frac{1}{120} =\frac15.

Resposta

Iremos separar em duas partes:
Para a lâmina triangular de densidade constante \rho: I_x=\displaystyle\frac{\rho\,b\,h^3}{12},\quad I_y=\displaystyle\frac{\rho\,b^3\,h}{12},\quad I_O=\displaystyle\frac{\rho\,b\,h\,(h^2+b^2)}{12}. Para o tetraedro de densidade \rho(x,y,z)=y: m=\displaystyle\frac{1}{24},\quad (\bar x,\bar y,\bar z)=\Bigl(\tfrac15,\;\tfrac25,\;\tfrac15\Bigr).

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