Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde E é a região delimitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=25, acima da reta y=x e tal que todos os pontos possuem coordenada y positiva.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dA
onde E é a região do disco x^{2}+y^{2}\le25 que satisfaz y>0 e fica “acima” da reta y=x. Vamos usar coordenadas polares, pois a região é parte de um círculo e a função x^{2}+y^{2} vira uma potência simples de r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad dA=r\,dr\,d\theta.
A condição x^{2}+y^{2}\le25 vira 0\le r\le5. A condição y>0 exige 0<\theta<\pi. A condição “acima de y=x” significa r\sin\theta\ge r\cos\theta, ou seja \tan\theta\ge1, isto é \theta\ge\pi/4. Combinando tudo:
0\le r\le5,\qquad \frac{\pi}{4}\le\theta\le\pi.

Passo 3

Substituindo na integral:
\iint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{\theta=\pi/4}^{\pi}\int_{r=0}^{5}r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{\pi/4}^{\pi}\int_{0}^{5}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{5}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{5} =\frac{5^{4}}{4} =\frac{625}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{\pi/4}^{\pi}\frac{625}{4}\,d\theta =\frac{625}{4}\Bigl[\theta\Bigr]_{\pi/4}^{\pi} =\frac{625}{4}\Bigl(\pi-\frac{\pi}{4}\Bigr) =\frac{625}{4}\cdot\frac{3\pi}{4} =\frac{1875\pi}{16}.

Resposta

\iint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dA =\frac{1875\pi}{16}.

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