Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} 12 x^{2} y \cos (x) d A, onde E=[0,1] \times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=12x^2y\cos(x) sobre o retângulo E=[0,1]\times[0,2]. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos
\iint_{E}12x^2y\cos(x)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{2}12x^2y\cos(x)\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

No integrando em y, tratamos x^2\cos(x) como constante:
\int_{0}^{2}12x^2y\cos(x)\,dy =12x^2\cos(x)\int_{0}^{2}y\,dy =12x^2\cos(x)\cdot\frac{2^2}{2} =24x^2\cos(x).

Passo 4

Substituindo de volta na integral em x, fica
\iint_{E}12x^2y\cos(x)\,dA =\int_{0}^{1}24x^2\cos(x)\,dx =24\int_{0}^{1}x^2\cos(x)\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{1}x^2\cos(x)\,dx, usamos integração por partes. Seja u=x^2, dv=\cos(x)\,dx; então du=2x\,dx, v=\sin(x). Assim,
\int x^2\cos(x)\,dx = x^2\sin(x) - \int 2x\sin(x)\,dx.

Passo 6

Calculemos \displaystyle\int 2x\sin(x)\,dx = 2\int x\sin(x)\,dx. Nova partes com u=x, dv=\sin(x)\,dx du=dx, v=-\cos(x), logo
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x)+\int\cos(x)\,dx = -x\cos(x)+\sin(x),
e
\int 2x\sin(x)\,dx =-2x\cos(x)+2\sin(x).

Passo 7

Voltando à primeira parte,
\int x^2\cos(x)\,dx = x^2\sin(x) -\bigl(-2x\cos(x)+2\sin(x)\bigr) = x^2\sin(x)+2x\cos(x)-2\sin(x).
Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^2\cos(x)\,dx =\bigl[\sin(1)+2\cos(1)-2\sin(1)\bigr]-0 =-\sin(1)+2\cos(1).

Passo 8

Multiplicando por 24, concluímos
\iint_{E}12x^2y\cos(x)\,dA =24\bigl(-\sin(1)+2\cos(1)\bigr) =-24\sin(1)+48\cos(1).

Resposta

\iint_{E}12x^{2}y\cos(x)\,dA = 48\cos(1) - 24\sin(1).

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