Determine os múltiplos naturais de 11 e 9 cuja soma é igual a:
79

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre dois números naturais m e n tais que m é múltiplo de 11, n é múltiplo de 9, e
m + n = 79
Para isso, escrevemos m = 11x e n = 9y com x,yinN e precisamos resolver a equação diofantina
11x + 9y = 79

Passo 2

Antes de achar soluções inteiras, verificamos o gcd(11,9). Como
gcd(11,9)=1
e 1 divide 79, existe solução inteira, mas precisamos de x>=1 e y>=1.

Passo 3

Para achar uma solução particular, usamos congruências. Reduzindo módulo 9:
11x + 9y equiv 79 pmod 9
é equivalente a
11x equiv 79 pmod 9
Como 11equiv2pmod9 e 79equiv7pmod9, fica
2xequiv7pmod9
O inverso de 2 em bmod9 é 5, pois 2cdot5=10equiv1. Logo
xequiv5cdot7=35equiv8pmod9
Isto dá a solução geral
x = 8 + 9k, kinZ
Substituindo em 11x+9y=79 temos
y = 79 - 11(8+9k)9 = 79 - 88 -99k9 = -1 -11k

Passo 4

Para x e y naturais precisamos de
x=8+9k>=1 e y=-1-11k>=1
Da segunda condição vem -1-11k>=1implies k<=-1. Mas para k<=-1 o valor de x=8+9k fica <=-1, ou seja, não natural. Para k>=0 temos y<=-1, também não natural. Portanto não há k que torne simultaneamente x e y naturais.

Resposta

Não existem múltiplos naturais de 11 e de 9 cuja soma seja 79.

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