Responda o que se pede em cada item:
Calcule os divisores de zero no anel Z12, isto é, determinar todos os elementos barx in Z12^* tais que existe bary in Z12^*, onde barx cdot bary=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os zero divisores não nulos em Z12, ou seja, todos os bar xneqbar0 tais que existe bar yneqbar0 com
bar xcdotbar y=bar0
O conteúdo aqui é a caracterização dos zero divisores em Zn via o máximo divisor comum.

Passo 2

Em Zn um elemento bar xneqbar0 é zero divisor se e somente se
gcd(x,n)>1
Isso porque, quando gcd(x,n)=d>1, existe y=tfracnd tal que xyequiv0pmod n.

Passo 3

Aplicando para n=12, examinamos as classes bar1,bar2,dots,bar11 e calculamos gcd(x,12):
  • gcd(1,12)=1 → unidade
  • gcd(5,12)=1 → unidade
  • gcd(7,12)=1 → unidade
  • gcd(11,12)=1 → unidade
    As demais têm gcd>1, logo são zero divisores:
xin2,3,4,6,8,9,10

Passo 4

Para confirmar, basta exibir para cada x um y não nulo com xyequiv0pmod12:
2cdot6equiv0, 3cdot4equiv0, 4cdot3equiv0, 6cdot2equiv0,
8cdot3equiv0, 9cdot4equiv0, 10cdot6equiv0pmod12

Resposta

Os zero divisores não nulos em Z12 são
2,;3,;4,;6,;8,;9,;10

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