O polinômio p=x^{3}+a x+b possui coeficientes reais e sabemos que 1+i é uma de suas raízes. Determine as outras raízes e também seus coeficientes.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{3}+a\,x+b
com coeficientes reais e informa que 1+i é raiz. Vamos usar a propriedade de que raízes complexas de polinômios com coeficientes reais vêm em pares conjugados e, a partir daí, determinar a fatoração e igualar coeficientes para encontrar as demais raízes e os valores de a e b.

Passo 2

Como os coeficientes são reais e 1+i é raiz, seu conjugado 1-i também deve ser raiz. Logo, dois fatores de p(x) são
x-(1+i) \quad\text{e}\quad x-(1-i).

Passo 3

Multiplicamos esses dois fatores para obter o fator quadrático:
(x-(1+i))(x-(1-i)) = (x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^{2}- (i)^{2} = (x-1)^{2}+1 = x^{2}-2x+2.
Assim, podemos escrever
p(x)=(x^{2}-2x+2)(x-\alpha),
onde \alpha é a terceira raiz (real).

Passo 4

Expandindo
(x^{2}-2x+2)(x-\alpha) = x^{3}+(-\alpha-2)x^{2}+(2\alpha+2)x-2\alpha
e comparando com x^{3}+a\,x+b, notamos que o coeficiente de x^{2} deve ser zero. Então
-\alpha-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-2.

Passo 5

Substituindo \alpha=-2 na expansão, obtemos
p(x)=x^{3}+(2\alpha+2)x-2\alpha =x^{3}+(-4+2)x-2(-2) =x^{3}-2x+4.
Portanto, a=-2 e b=4.

Resposta

As raízes são -2, 1+i e 1-i.
Os coeficientes são a=-2 e b=4.

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