O polinômio
possui coeficientes reais e sabemos que
é uma de suas raízes. Determine as outras raízes e também seus coeficientes.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com coeficientes reais e informa que
é raiz. Vamos usar a propriedade de que raízes complexas de polinômios com coeficientes reais vêm em pares conjugados e, a partir daí, determinar a fatoração e igualar coeficientes para encontrar as demais raízes e os valores de
e
.
Passo 2
Como os coeficientes são reais e
é raiz, seu conjugado
também deve ser raiz. Logo, dois fatores de
são
Passo 3
Multiplicamos esses dois fatores para obter o fator quadrático:
Assim, podemos escrever
onde
é a terceira raiz (real).
Passo 4
Expandindo
e comparando com
, notamos que o coeficiente de
deve ser zero. Então
Passo 5
Substituindo
na expansão, obtemos
Portanto,
e
.
Resposta
As raízes são
,
e
.
Os coeficientes são e
.
Os coeficientes são