Determine as raízes inteiras de p=x^{4}+2 x^{3}-13 x^{2}-14 x+24 e sua fatoração.

Passo 1

O enunciado pede as raízes inteiras de p(x)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24 e sua fatoração. Vamos usar o teorema das raízes racionais para achar raízes inteiras e depois dividir o polinômio para fatorar.

Passo 2

Pelo teorema das raízes racionais, as possíveis raízes inteiras são os divisores de 24, isto é \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24. Testando x=1:
p(1)=1+2-13-14+24=0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é fator de p(x).

Passo 3

Dividindo p(x) por (x-1) (por sintética ou longa) obtemos o quociente
x^3+3x^2-10x-24.

Passo 4

No polinômio q(x)=x^3+3x^2-10x-24, reaplicamos o teorema das raízes racionais. Testando x=3:
q(3)=27+27-30-24=0,
logo x=3 é raiz de q(x) e (x-3) é fator.

Passo 5

Dividindo q(x) por (x-3) chegamos ao polinômio de segundo grau
x^2+6x+8.

Passo 6

Fatorando x^2+6x+8, buscamos dois números com produto 8 e soma 6: são 2 e 4. Portanto,
x^2+6x+8=(x+2)(x+4),
dando raízes x=-2 e x=-4.

Resposta

As raízes inteiras são 1,3,-2,-4 e a fatoração completa é
p(x)=(x-1)(x-3)(x+2)(x+4).

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