Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo vetorial:
\iint_{S} x d x+6 y d y+x z d z em que S é superfície retangular y=0,0 \leq x \leq 2 e 1 \leq z \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(x,\,6y,\,x z\bigr)
através da superfície plana S definida por
y = 0,\quad 0 \le x \le 2,\quad 1 \le z \le 3.
Em outras palavras, queremos calcular
\iint_{S} F\cdot n\,dS.

Passo 2

Parametrizamos S pelos parâmetros (x,z):
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\,0,\,z\bigr),\quad (x,z)\in [0,2]\times[1,3].
Então
\mathbf r_x = \frac{\partial\mathbf r}{\partial x} = (1,0,0), \qquad \mathbf r_z = \frac{\partial\mathbf r}{\partial z} = (0,0,1).
O vetor normal orientado (seguindo, por exemplo, o sentido positivo de y) é
\mathbf n\,dS = \mathbf r_x\times\mathbf r_z \,dx\,dz = (1,0,0)\times(0,0,1)\,dx\,dz = (0,-1,0)\,dx\,dz.

Passo 3

No ponto \mathbf r(x,z)=(x,0,z) temos F(\mathbf r) = \bigl(x,\,0,\,x z\bigr). Logo
F\cdot(\mathbf r_x\times\mathbf r_z) = \bigl(x,0,xz\bigr)\cdot(0,-1,0) = 0.
Portanto
\iint_{S}F\cdot n\,dS = \int_{x=0}^{2}\int_{z=1}^{3}0\;dz\,dx = 0.

Resposta

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