Se
demonstre que
lim x 0 f(x)=0 .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
limxto0f(x)=0 . O conteúdo principal aqui é a definição de limite de uma função via critério
varepsilon –
de<a .
Passo 2
Vamos primeiro encontrar uma estimativa unificada de
lvert f(x)-0rvert .
- Se
é racional, entãox ef(x)=x^2 lvert f(x)-0rvert=lvert x^2rvert=x^2 - Se
é irracional, entãox ef(x)=0 lvert f(x)-0rvert=0<= x^2
Portanto, em qualquer caso vale
Passo 3
Para aplicar o critério
varepsilon –
de<a , seja dado um
varepsilon>0 .
Escolhemos
Escolhemos
Então, sempre que
lvert x-0rvert=lvert xrvert<de<a , temos
Isso mostra que, para todo
varepsilon>0 , existe
de<a>0 (a saber,
raizvarepsilon ) tal que se
lvert xrvert<de<a então
lvert f(x)-0rvert<varepsilon .
Passo 4
Pelo critério
varepsilon –
de<a de limite, concluímos que