Se
f(x)= x^2 & se x é racional 0 & se x é irracional éé
demonstre que lim x 0 f(x)=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2, &se (x) é racional, 0, &se (x) é irracional, éé
e pede para mostrar que limxto0f(x)=0. O conteúdo principal aqui é a definição de limite de uma função via critério varepsilon de<a.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar uma estimativa unificada de lvert f(x)-0rvert.
  • Se x é racional, então f(x)=x^2 e lvert f(x)-0rvert=lvert x^2rvert=x^2
  • Se x é irracional, então f(x)=0 e lvert f(x)-0rvert=0<= x^2
Portanto, em qualquer caso vale
lvert f(x)-0rvert<= x^2

Passo 3

Para aplicar o critério varepsilon de<a, seja dado um varepsilon>0.
Escolhemos
de<a = raizvarepsilon
Então, sempre que lvert x-0rvert=lvert xrvert<de<a, temos
lvert f(x)-0rvert<= x^2<de<a^2=varepsilon
Isso mostra que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 (a saber, raizvarepsilon) tal que se lvert xrvert<de<a então lvert f(x)-0rvert<varepsilon.

Passo 4

Pelo critério varepsilon de<a de limite, concluímos que
limxto0f(x)=0

Resposta

limxto0f(x)=0.

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