Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=y^2 e^y i+(1+x y) e^y j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=y^2e^y, Q(x,y)=(1+xy)e^y,
e pede para verificar se F é conservador (isto é, existe f tal que nabla f=F).

Passo 2

O domínio de F é R^2, que é aberto e simplesmente conexo, e P,Q são C^1. Portanto, basta verificar se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
em todo o domínio.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial yl(y^2e^yr) =(2y+y^2)e^y =(y^2+2y)e^y,
partial Qpartial x =partialpartial xl((1+xy)e^yr) =y,e^y

Passo 4

Comparando,
partial Ppartial y=(y^2+2y)e^y, partial Qpartial x=y,e^y
Como (y^2+2y)e^yneq y,e^y em geral, as derivadas mistas não coincidem.

Resposta

F não é um campo conservador, pois
partial Ppartial yneqpartial Qpartial x.

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