Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. Para resolver, vamos:
- achar a solução geral da equação homogênea associada,
- encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar,
- impor as condições iniciais para ajustar as constantes.
Passo 2
Resolvemos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular da forma
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Como queremos que isso seja
, igualamos coeficientes:
Daí
e
, logo
Portanto
Passo 4
A solução geral do EDO completo é
Passo 5
Impondo
:
Agora calculamos
. Derivando
:
e já temos
Em
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Podemos fatorar
: