Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=sen(2 t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 5y = sin(2t), y(0)=0, y'(0)=0
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante sin(2t). Para resolver, vamos:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada,
  2. encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar,
  3. impor as condições iniciais para ajustar as constantes.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y'' - 4y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 -4r +5 = 0 Longrightarrow r = 4 pm raiz16 -202 = 2 pm i
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)
Calculamos as derivadas:
yp' = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t), yp'' = -4Acos(2t) -4Bsin(2t)
Substituindo em y'' -4y' +5y obtemos
yp'' - 4yp' +5yp = (-4Acos2t -4Bsin2t) -4(-2Asin2t +2Bcos2t) +5(Acos2t +Bsin2t)
= (A - 8B)cos(2t) + (8A + B)sin(2t)
Como queremos que isso seja sin(2t), igualamos coeficientes:
A - 8B = 0, 8A + B = 1
Daí A = 8B e 64B + B =65B =1, logo
B = 165, A = 865
Portanto
yp(t) = 865cos(2t) + 165sin(2t)

Passo 4

A solução geral do EDO completo é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr) + 865cos(2t) + 165sin(2t)

Passo 5

Impondo y(0)=0:
y(0) = C1 + 865 = 0 Longrightarrow C1 = -865
Agora calculamos y'(t). Derivando yh:
yh' = e^2tl[(2C1+C2)cos t + (2C2 - C1)sin tr],
e já temos
yp' = -1665sin(2t) + 265cos(2t)
Em t=0:
y'(0) = (2C1 + C2) + 265 = 0 Longrightarrow 2l(-tfrac865r) + C2 + tfrac265 = 0
-1665 + C2 + 265 = 0 Longrightarrow C2 = 1465

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = e^2t!l(-tfrac865cos t + tfrac1465sin tr) + 865cos(2t) + 165sin(2t)
Podemos fatorar 1/65:
y(t) = 165l[e^2tl(-8cos t +14sin tr) + 8cos(2t) + sin(2t)r]

Resposta

boxed y(t) = 165l[e^2tl(-8cos t +14sin tr) + 8cos(2t) + sin(2t)r]

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