Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e pede para verificar se
é conservativo (isto é, se existe
tal que
). Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas em um domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Identificamos o domínio de
: como aparece
e
, precisamos de
. Esse conjunto é aberto e simplesmente conexo, então basta verificar se
para concluir se
é conservativo.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Comparamos as duas expressões:
Como
em geral, temos
no domínio
. Portanto
não satisfaz a condição de ser conservativo.