Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(ln y+3 x y^3) i+(3 x^2 y^2+xy) j.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=ln y+3xy^3, Q(x,y)=3x^2y^2+xy,
e pede para verificar se F é conservativo (isto é, se existe f tal que F=nabla f). Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Identificamos o domínio de F: como aparece ln y e x/y, precisamos de y>0. Esse conjunto é aberto e simplesmente conexo, então basta verificar se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
para concluir se F é conservativo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial yl(ln y+3xy^3r) =1y+9xy^2,
partial Qpartial x =partialpartial xl(3x^2y^2+xyr) =6xy^2+1y

Passo 4

Comparamos as duas expressões:
partial Ppartial y =1y+9xy^2, partial Qpartial x =1y+6xy^2
Como 9xy^2neq6xy^2 em geral, temos
partial Ppartial yneqpartial Qpartial x
no domínio y>0. Portanto F não satisfaz a condição de ser conservativo.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo, logo não existe função f tal que F=nabla f.

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