Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=e^x cos y i+e cos y j;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = e^xcos y,i + ecos y,j
é conservativo e, em caso positivo, encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f. Vamos usar a condição de igualdade das derivadas cruzadas em R^2.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de P(x,y)=e^xcos y em relação a y. Pela regra da cadeia,
partial Ppartial y = e^x,ddy(cos y) = -,e^xsin y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de Q(x,y)=ecos y em relação a x. Como não há dependência de x,
partial Qpartial x = 0

Passo 4

Num domínio aberto e simplesmente conexo (como R^2), F é conservativo se, e somente se,
partial Ppartial y = partial Qpartial x
em todos os pontos. Aqui obtemos
partial Ppartial y = -,e^xsin y e partial Qpartial x = 0,
logo não são iguais em geral.

Resposta

O campo F não é conservativo, portanto não existe função potencial f tal que F=nabla f.

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