Responda Verdadeiro ou Falso, Justificando a resposta
Se f(x)=integral0^x x^2 sen(t^2) d t ENTMO f^prime(x)=x^2 sen(x^2).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^xx^2senl(t^2r),dt
e pede para verificar se
f'(x)=x^2senl(x^2r)
O conteúdo aqui é a diferenciação de uma integral cujo integrando depende de x e cujo limite superior também depende de x. Vamos usar o Teorema de Leibniz para derivar sob o sinal de integral.

Passo 2

Defina
g(x,t)=x^2senl(t^2r)
Pelo Teorema de Leibniz,
f'(x) =ddxintegral0^xg(x,t),dt =gl(x,xr) +integral0^xpartial gpartial x(x,t),dt
Aqui
gl(x,xr) =x^2senl(x^2r), partial gpartial x(x,t) =2x,senl(t^2r)

Passo 3

Substituindo em Leibniz, obtemos
f'(x) =x^2senl(x^2r) +integral0^x2x,senl(t^2r),dt =x^2senl(x^2r) +2xintegral0^xsenl(t^2r),dt
Isso mostra que existe um termo extra 2xintegral0^xsen(t^2),dt, ou seja,
f'(x)neq x^2senl(x^2r)

Resposta

Falso.

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