Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(4 y+3 x y^2) i+(3 x^2 y^2+zy) j.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em R^3
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(4y+3xy^2,;3x^2y^2+tfraczy,;0r),
definido no domínio D=(x,y,z)mid yneq0.
Pergunta-se se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar f tal que nabla f=F.
O conteúdo que vamos usar é o critério do rotor (curl): num domínio simplesmente conectado, F é conservativo se, e somente se,
nablatimesF=0

Passo 2

Escrevemos o rotor de F via determinante
nablatimesF = i & j & k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z P & Q & R
Aqui P=4y+3xy^2,;Q=3x^2y^2+z/y,;R=0.

Passo 3

Calculamos cada componente de nablatimesF:
(nablatimesF)x =partial Rpartial y-partial Qpartial z =0-partialpartial zl(3x^2y^2+tfraczyr) =-1y,
(nablatimesF)y =partial Ppartial z-partial Rpartial x =0-0=0,
(nablatimesF)z =partial Qpartial x-partial Ppartial y =partialpartial xl(3x^2y^2+tfraczyr) -partialpartial yl(4y+3xy^2r) =6xy^2-l(4+6xyr)

Passo 4

Observamos que
(nablatimesF)x=-1yneq0 e (nablatimesF)z=6xy^2-4-6xyneq0
em geral no domínio yneq0. Como o rotor não é o vetor zero, concluímos que F não é conservativo.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo; não existe função potencial f tal que nabla f=F.

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