(valior 4,0 ponton) Considere a função f definida por:
f(x, y)=l x^1 y^2x^2+y^2, sen(x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique se f écontinua em ( 0,0 ) Justifique sua resposta:

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Vamos usar o conceito de continuidade em duas variáveis: mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
]

Passo 2

Pela definição, precisamos calcular
L=lim(x,y)to(0,0)x,y^2x^2+y^2
e verificar se L=0. Se sim, como f(0,0)=0, f será contínua em (0,0).

Passo 3

Para avaliar L, estimamos o valor absoluto de f(x,y):
l|f(x,y)r| =|x,y^2x^2+y^2| =|x|,y^2x^2+y^2
Note que |x|<=raizx^2+y^2 e também y^2<= x^2+y^2. Logo,
|x|,y^2<=raizx^2+y^2,(x^2+y^2)
e, portanto,
l|f(x,y)r| <=raizx^2+y^2,(x^2+y^2)x^2+y^2 =raizx^2+y^2

Passo 4

Como raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), o teorema do confronto (ou squeeze) garante que
lim(x,y)to(0,0)l|f(x,y)r|=0,
isto é,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Vimos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f(0,0)=0,
portanto a função f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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