(valior 4,0 ponton) Considere a função
definida por:
(a) Verifique se
f écontinua em ( 0,0 ) Justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é contínua em
(0,0) . Vamos usar o conceito de continuidade em duas variáveis: mostrar que
]
Passo 2
Pela definição, precisamos calcular
e verificar se
L=0 . Se sim, como
f(0,0)=0 ,
f será contínua em
(0,0) .
Passo 3
Para avaliar
L , estimamos o valor absoluto de
f(x,y) :
Note que
|x|<=raizx^2+y^2 e também
y^2<= x^2+y^2 . Logo,
e, portanto,
Passo 4
Como
raizx^2+y^2to0 quando
(x,y)to(0,0) , o teorema do confronto (ou squeeze) garante que
isto é,
Passo 5
Vimos que
portanto a função
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua em
(0,0) , pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) .