O vetor vec{A} tem um módulo de 12,0 \mathrm{~m} e faz um ângulo de 60,0^{\circ} no sentido anti-horário com o semieixo x positivo de um sistema de coordenadas x y. O vetor vec{B} é dado por (12,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(8,00 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} no mesmo sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de 20,0^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem para formar um sistema x^{\prime} y^{\prime}. Determine os vetores
vec{A} na notação dos vetores unitários do novo sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • O vetor \vec{A} tem módulo \,12{,}0\\ \mathrm{m}\, e faz um ângulo de \,60{,}0^\circ\, no sentido anti-horário a partir do semieixo positivo x.
  • O vetor \vec{B} é \,(12{,}0\\ \mathrm{m})\hat{\mathrm{i}}+(8{,}00\\ \mathrm{m})\hat{\mathrm{j}} (informação do enunciado; não será necessária para calcular \vec{A} no novo sistema, mas está listada como dado).
  • O sistema de coordenadas é rotacionado em \,20{,}0^\circ\, no sentido anti-horário em torno da origem, formando os eixos x' e y'.
O que se pede:
  • Determinar \vec{A} escrito na notação dos vetores unitários do novo sistema \hat{\mathrm{i}}' e \hat{\mathrm{j}}'; ou seja, achar as componentes de \vec{A} em relação a x'y'.

Passo 2

Entendendo a rotação de eixos (intuição e fórmula). Vou explicar de um jeito direto e sem formalismo pesado:
  • O vetor \vec{A} é um objeto fixo no plano; mudar o sistema de coordenadas é uma mudança de base (passiva). Se os eixos são girados de \theta no sentido anti-horário, as novas direções unitárias podem ser escritas em função das antigas:
\hat{\mathrm{i}}'=\cos\theta\,\hat{\mathrm{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathrm{j}}, \qquad \hat{\mathrm{j}}'=-\sin\theta\,\hat{\mathrm{i}}+\cos\theta\,\hat{\mathrm{j}}.
  • Para obter as componentes de \vec{A} no novo sistema basta projetar \vec{A} sobre \hat{\mathrm{i}}' e \hat{\mathrm{j}}'. Como \hat{\mathrm{i}}' e \hat{\mathrm{j}}' são ortonormais,
A_{x'}=\vec{A}\cdot\hat{\mathrm{i}}',\qquad A_{y'}=\vec{A}\cdot\hat{\mathrm{j}}'.
  • Escrevendo \vec{A}=A_x\hat{\mathrm{i}}+A_y\hat{\mathrm{j}} e substituindo \hat{\mathrm{i}}' e \hat{\mathrm{j}}' obtém-se as fórmulas de transformação:
A_{x'}=A_x\cos\theta + A_y\sin\theta, \qquad A_{y'}=-A_x\sin\theta + A_y\cos\theta.
(Essas fórmulas são úteis e fáceis de memorizar: para eixo girado de \theta as componentes “passam” por um mix com \cos\theta e \sin\theta.)
Observação prática (atalho mental): se um vetor tem ângulo \varphi no sistema original e os eixos giram \theta, então o ângulo do vetor em relação ao novo eixo x' é \varphi-\theta. Assim as componentes no novo sistema são simplesmente
A_{x'}=|\vec{A}|\cos(\varphi-\theta),\qquad A_{y'}=|\vec{A}|\sin(\varphi-\theta).
Vou usar esse atalho porque aqui temos |\vec{A}| e \varphi dados.

Passo 3

Calcular as componentes de \vec{A} no sistema original (apenas para conexão):
  • O módulo é |\vec{A}|=12{,}0\\ \mathrm{m} e o ângulo é \varphi=60{,}0^\circ. Usando as razões trigonométricas conhecidas:
\cos60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo as componentes originais são
A_x=12{,}0\cos60^\circ=12{,}0\cdot\tfrac{1}{2}=6{,}0\\ \mathrm{m},
A_y=12{,}0\sin60^\circ=12{,}0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx10{,}392\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Usar o atalho do ângulo relativo ao novo eixo. Como os eixos giraram \theta=20{,}0^\circ no sentido anti-horário, o ângulo de \vec{A} medido a partir do novo eixo x' é
\varphi'=\varphi-\theta=60{,}0^\circ-20{,}0^\circ=40{,}0^\circ.
Portanto, diretamente:
A_{x'}=|\vec{A}|\cos(\varphi')=12{,}0\cos40{,}0^\circ, \qquad A_{y'}=|\vec{A}|\sin(\varphi')=12{,}0\sin40{,}0^\circ.
Isto é equivalente às fórmulas do passo anterior, só que numericamente mais simples de aplicar aqui.

Passo 5

Calcular numericamente \cos40^\circ e \sin40^\circ (valores trigonométricos aproximados) e multiplicar por 12{,}0:
  • \cos40^\circ\approx0{,}7660444431, então
A_{x'}=12{,}0\cdot0{,}7660444431\approx9{,}19\\ \mathrm{m}.
  • \sin40^\circ\approx0{,}6427876097, então
A_{y'}=12{,}0\cdot0{,}6427876097\approx7{,}71\\ \mathrm{m}.
Mantive as aproximações com três algarismos relevantes na resposta final, coerente com os dados dados (por exemplo 12{,}0\\ \mathrm{m}).

Resposta

\vec{A}= (12{,}0\cos40{,}0^\circ)\,\hat{\mathrm{i}}' + (12{,}0\sin40{,}0^\circ)\,\hat{\mathrm{j}}' \approx (9{,}19\\ \mathrm{m})\,\hat{\mathrm{i}}' + (7{,}71\\ \mathrm{m})\,\hat{\mathrm{j}}'

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