O vetor
tem um módulo de
e faz um ângulo de
no sentido anti-horário com o semieixo
positivo de um sistema de coordenadas
. O vetor
é dado por
no mesmo sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem para formar um sistema
. Determine os vetores
na notação dos vetores unitários do novo sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- O vetor
tem módulo e faz um ângulo de no sentido anti-horário a partir do semieixo positivo . - O vetor
é (informação do enunciado; não será necessária para calcular no novo sistema, mas está listada como dado). - O sistema de coordenadas é rotacionado em
no sentido anti-horário em torno da origem, formando os eixos e .
O que se pede:
- Determinar
escrito na notação dos vetores unitários do novo sistema e ; ou seja, achar as componentes de em relação a .
Passo 2
Entendendo a rotação de eixos (intuição e fórmula). Vou explicar de um jeito direto e sem formalismo pesado:
- O vetor
é um objeto fixo no plano; mudar o sistema de coordenadas é uma mudança de base (passiva). Se os eixos são girados de no sentido anti-horário, as novas direções unitárias podem ser escritas em função das antigas:
- Para obter as componentes de
no novo sistema basta projetar sobre e . Como e são ortonormais,
- Escrevendo
e substituindo e obtém-se as fórmulas de transformação:
(Essas fórmulas são úteis e fáceis de memorizar: para eixo girado de
as componentes “passam” por um mix com
e
.)
Observação prática (atalho mental): se um vetor tem ângulo
no sistema original e os eixos giram
, então o ângulo do vetor em relação ao novo eixo
é
. Assim as componentes no novo sistema são simplesmente
Vou usar esse atalho porque aqui temos
e
dados.
Passo 3
Calcular as componentes de
no sistema original (apenas para conexão):
- O módulo é
e o ângulo é . Usando as razões trigonométricas conhecidas:
Logo as componentes originais são
Passo 4
Usar o atalho do ângulo relativo ao novo eixo. Como os eixos giraram
no sentido anti-horário, o ângulo de
medido a partir do novo eixo
é
Portanto, diretamente:
Isto é equivalente às fórmulas do passo anterior, só que numericamente mais simples de aplicar aqui.
Passo 5
Calcular numericamente
e
(valores trigonométricos aproximados) e multiplicar por
:
-
, então
-
, então
Mantive as aproximações com três algarismos relevantes na resposta final, coerente com os dados dados (por exemplo
).