Determine o núcleo de cada uma das matrizes a seguir.
(cccc1 & 2 & -3 & -1 -2 & -4 & 6 & 3)

Passo 1

A questão pede o núcleo (espaço nulo) de uma matriz 2times4. O núcleo de uma matriz A é o conjunto de vetores xinR^4 que satisfazem
Ax=0
Para resolver vamos usar eliminação de Gauss e parametrizar as soluções do sistema homogêneo.

Passo 2

Definimos
A = 1 & 2 & -3 & -1 -2 & -4 & 6 & 3
e o vetor desconhecido
x = (x1,x2,x3,x4)^T
O sistema homogêneo Ax=0 é equivalente a
x1 + 2x2 - 3x3 - x4 = 0, -2x1 - 4x2 + 6x3 + 3x4 = 0

Passo 3

Aplicamos eliminação: somamos 2 vezes a primeira equação à segunda, obtendo as equações
1 & 2 & -3 & -1 0 & 0 & 0 & 1
que correspondem ao sistema escalonado
x1 + 2x2 - 3x3 - x4 = 0, x4 = 0

Passo 4

Da segunda equação segue
x4 = 0
Substituindo em x1 + 2x2 - 3x3 = 0 temos
x1 = -2x2 + 3x3
Como x2 e x3 são livres, seja
x2 = t, x3 = s, t,sinR
Então o vetor geral do núcleo é
x = -2t+3s t s 0 = t-2100 + s3010

Resposta

ker(A) = spanl-2100,,3010r

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