Determine o núcleo (espaço nulo) das seguintes matrizes
A=[llll2 & 1 & -2 & 0 4 & 2 & -4 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o núcleo (espaço nulo) da matriz
A= 2 & 1 & -2 & 0 4 & 2 & -4 & 0
Isso equivale a resolver o sistema homogêneo Ax=0. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto de A e, em seguida, expressar as variáveis livres para descrever ker(A).

Passo 2

Aplicando a operação R2 R2-2,R1, obtemos a forma escalonada
2 & 1 & -2 & 0 4 & 2 & -4 & 0 longrightarrow 2 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Logo, há apenas uma equação não trivial:
2x1+x2-2x3=0

Passo 3

Como temos 4 variáveis e apenas 1 equação, o posto de A é 1 e a nulidade é 4-1=3. Vamos isolar x2, que tem coeficiente 1:
x2=-2x1+2x3
As variáveis x1,x3,x4 são livres. Definimos parâmetros
x1=t, x3=s, x4=u,
então
x2=-2t+2s

Passo 4

Escrevendo o vetor genérico x=(x1,x2,x3,x4) em função de t,s,u, temos
x=(t,,-2t+2s,,s,,u) =t,(1,-2,0,0)+s,(0,2,1,0)+u,(0,0,0,1)
Portanto, uma base para o núcleo é dada pelos três vetores acima.

Resposta

ker(A)=span,(1,-2,0,0),;(0,2,1,0),;(0,0,0,1).

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