Sendo
e
duas matrizes quadradas
, será verdade que se o produto
se anula, então se tem necessariamente
ou
? O que pode concluir no caso em que
é uma matriz invertível?
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas
de ordem
, a condição
implica necessariamente que
ou
. Isso envolve o conceito de divisores de zero no anel das matrizes e o que ocorre quando uma das matrizes é invertível.
Passo 2
Para ver que não vale em geral, basta um contraexemplo em dimensão
. Considere
Nenhuma delas é a matriz zero, mas
Logo,
com
e
.]
Passo 3
Se
for invertível, existe
tal que
. Multiplicando
pela esquerda por
, obtemos
Portanto, no caso
invertível, necessariamente
.
Resposta
Não: em geral existem divisores de zero no conjunto das matrizes (contraexemplo em
acima). Porém, se
for invertível e
, então
.