Sendo A e B duas matrizes quadradas n times n, será verdade que se o produto A B se anula, então se tem necessariamente A=0 ou B=0 ? O que pode concluir no caso em que A é uma matriz invertível?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A,B de ordem n, a condição
AB = 0
implica necessariamente que A=0 ou B=0. Isso envolve o conceito de divisores de zero no anel das matrizes e o que ocorre quando uma das matrizes é invertível.

Passo 2

Para ver que não vale em geral, basta um contraexemplo em dimensão 2. Considere
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0
B = 0 & 0 [6pt] 1 & 0
Nenhuma delas é a matriz zero, mas
AB = 1 & 0 [3pt] 0 & 0 0 & 0 [3pt] 1 & 0 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0,
Logo, AB=0 com Aneq 0 e Bneq 0.]

Passo 3

Se A for invertível, existe A^-1 tal que A^-1A=I. Multiplicando
AB=0
pela esquerda por A^-1, obtemos
A^-1(AB)=(A^-1A)B Longrightarrow IB = B = 0
Portanto, no caso A invertível, necessariamente B=0.

Resposta

Não: em geral existem divisores de zero no conjunto das matrizes (contraexemplo em 2times2 acima). Porém, se A for invertível e AB=0, então B=0.

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