Sejam
, e suponha que
é não singular e que
.
(a) Mostre que existe no máximo um valor real de
para o qual a matriz
é singular.
(b) Dê um exemplo de matrizes
e
nas condições da alínea anterior para as quais a matriz
não seja singular para nenhum valor real de
.
(a) Mostre que existe no máximo um valor real de
(b) Dê um exemplo de matrizes
Passo 1
O enunciado diz que temos duas matrizes
, com
invertível e
. Definimos
e queremos (a) mostrar que existe no máximo um
tal que
seja singular e (b) dar um exemplo de
nessas condições para os quais
é sempre invertível.
Passo 2
Usamos o Lema do determinante (ou identidade de matriz de posto 1): se
, então
Como
é invertível, escrevemos
Como
tem posto 1, também
tem posto 1, logo podemos escrever
para certos vetores
.
Passo 3
Pelo Lema do determinante
Portanto
Isto é uma função afim de
, logo só pode ser zero em no máximo um valor real de
, solução de
Passo 4
Para dar um exemplo em que nunca há singularidade, basta escolher
. Por exemplo, seja
onde
é o vetor canônico. Então
e
para todo
. Assim
é sempre invertível.
Resposta
(a) Vimos que
, uma função afim de
, logo anula em no máximo um ponto.
(b) Por exemplo, e
fazem
e
, isto é,
nunca é singular.
(b) Por exemplo,