Sejam A, X in Mn times n, e suponha que A é não singular e que car(X)=1.
(a) Mostre que existe no máximo um valor real de alpha para o qual a matriz Balpha=A+alpha X é singular.
(b) Dê um exemplo de matrizes A e X nas condições da alínea anterior para as quais a matriz Balpha não seja singular para nenhum valor real de alpha.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas matrizes A,Xin Mntimes n, com A invertível e rank(X)=1. Definimos
Balpha = A + alpha X
e queremos (a) mostrar que existe no máximo um alphain R tal que Balpha seja singular e (b) dar um exemplo de A,X nessas condições para os quais Balpha é sempre invertível.

Passo 2

Usamos o Lema do determinante (ou identidade de matriz de posto 1): se u,vin R^n, então
detl(I + u,v^Tr) ;=; 1 + v^T u
Como A é invertível, escrevemos
det(Balpha) =detl(A+alpha Xr) =det(A),detl(I + alpha A^-1Xr)
Como X tem posto 1, também A^-1X tem posto 1, logo podemos escrever A^-1X = u,v^T para certos vetores u,v.

Passo 3

Pelo Lema do determinante
detl(I + alpha A^-1Xr) =detl(I + alpha,u,v^Tr) =1 + alpha,v^T u
Portanto
det(Balpha) =det(A)l(1 + alpha,v^T ur)
Isto é uma função afim de alpha, logo só pode ser zero em no máximo um valor real de alpha, solução de
1 + alpha,v^T u = 0

Passo 4

Para dar um exemplo em que nunca há singularidade, basta escolher v^T u=0. Por exemplo, seja
A = In, X = e1,e2^T,
onde ei é o vetor canônico. Então rank(X)=1 e
detl(In + alpha Xr) =det(In),detl(In + alpha,e1e2^Tr) =1cdotl(1 + alpha,e2^Te1r) =1+ alphacdot 0 =1neq 0
para todo alpha. Assim Balpha é sempre invertível.

Resposta

(a) Vimos que
det(Balpha)=det(A)l(1+alpha,v^Tur), uma função afim de alpha, logo anula em no máximo um ponto.
(b) Por exemplo, A=In e X=e1e2^T fazem rank(X)=1 e det(In+alpha X)equiv1, isto é, Balpha nunca é singular.

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