Determine o núcleo, a imagem, a dimensão e a base do núcleo e da imagem da transformação linear
definida por
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
Queremos encontrar o núcleo
, a imagem
, as dimensões de cada um e uma base para cada subespaço.
Passo 2
Representamos
pela matriz na base canônica de
e
:
pois
G(x,y,z)=A,(x,y,z)^T .
Passo 3
Para achar
, resolvemos
isto é o sistema
Passo 4
Da primeira equação vem
x = y - 4z . Substituindo na segunda:
Então
x = z -4z = -3z . Logo todo vetor do núcleo é da forma
(-3z,,z,,z) com
zinR .
Passo 5
Portanto
e
com base
(-3,1,1) .
Passo 6
Para
Im G , note que é o espaço gerado pelas colunas de
A , ou seja
Basta ver que já os dois primeiros são linearmente independentes em
R^2 (determinante
1cdot1-(-1)cdot3=4neq0 ), logo geram todo
R^2 .
Passo 7
Concluímos
e uma base conveniente é
(1,3),,(-1,1) .