Determine o núcleo, a imagem, a dimensão e a base do núcleo e da imagem da transformação linear G: R^2 R^2 definida por G(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Gcolon R^3 to R^2
definida por
G(x,y,z) = (,x - y + 4z,;3x + y + 8z,)
Queremos encontrar o núcleo ker G, a imagem Im G, as dimensões de cada um e uma base para cada subespaço.

Passo 2

Representamos G pela matriz na base canônica de R^3 e R^2:
A = 1 & -1 & 4 3 & 1 & 8 ,
pois G(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.

Passo 3

Para achar , resolvemos
isto é o sistema

Passo 4

Da primeira equação vem x = y - 4z. Substituindo na segunda:
3(y - 4z) + y + 8z = 0 ;Longrightarrow; 4y -4z = 0 ;Longrightarrow; y = z
Então x = z -4z = -3z. Logo todo vetor do núcleo é da forma (-3z,,z,,z) com zinR.

Passo 5

Portanto
ker G = (-3t,,t,,t)mid tinR = span(-3,1,1),
e
dim(ker G)=1,
com base (-3,1,1).

Passo 6

Para Im G, note que é o espaço gerado pelas colunas de A, ou seja
(1,3),;(-1,1),;(4,8)
Basta ver que já os dois primeiros são linearmente independentes em R^2 (determinante 1cdot1-(-1)cdot3=4neq0), logo geram todo R^2.

Passo 7

Concluímos
Im G = R^2,
dim(Im G)=2,
e uma base conveniente é (1,3),,(-1,1).

Resposta

ker G = span(-3,1,1), dim(ker G)=1 Im G = R^2, base=(1,3),(-1,1), dim(Im G)=2

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