Na transformação linear T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(2 x-3 y, x+5 y). Determine:
a dimensão da imagem e a dimensão do núcleo

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x - 3y,;x + 5y),
e pede a dimensão da imagem (rank) e do núcleo (nullity). Vamos usar representação matricial e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Em relação às bases canônicas de R^2, a matriz de T é
A = 2 & -3 1 & 5
A dimensão da imagem de T é o posto de A.

Passo 3

Calculamos o determinante de :
Como , a matriz é invertível, logo .

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade em R^2,
dim(ker T) + dim(Im T) = 2
Substituindo dim(Im T)=2 obtemos
dim(ker T) = 2 - 2 = 0

Resposta

dim(Im T)=2 dim(ker T)=0

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