Determine o núcleo, a imagem e as respectivas dimensões para cada TL (represente-os em forma de conjuntos):
T: R^3 R^4, T(x, y, z)=(x-y,-y-z, y-x, y+z)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo, a imagem e as dimensões de cada um para a transformação linear
Tcolon R^3toR^4 dada por
T(x,y,z)=(x-y,,-y-z,,y-x,,y+z)
O conteúdo envolvido é núcleo e imagem de uma TL e o teorema da dimensão (posto-nulidade).

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
T(x,y,z)=(0,0,0,0),
isto é, o sistema
x-y=0, -y-z=0, y-x=0, y+z=0

Passo 3

Das duas primeiras equações vem x=y e z=-y. As outras duas são redundantes e confirmam consistência. Assim,
ker(T)=(y,y,-y)mid yinR=span(1,1,-1)
Como há um parâmetro livre,
dim(ker(T))=1.

Passo 4

Para a imagem, note que, definindo
s=x-y, t=-y-z,
temos
T(x,y,z)=(s,,t,,-s,,-t)
Os parâmetros s,t são livres em R, pois para dado (s,t) escolhemos y arbitrário e definimos x=s+y, z=-t-y.

Passo 5

Logo,
im(T)=(s,t,-s,-t)mid s,tinR =span(1,0,-1,0),,(0,1,0,-1)
São dois vetores independentes, logo
dim(im(T))=2.

Resposta

ker(T)=t(1,1,-1)mid tinR,;dim(ker(T))=1.
im(T)=(s,t,-s,-t)mid s,tinR,;dim(im(T))=2.

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