Determine o núcleo, a imagem e as respectivas dimensões para cada TL (represente-os em forma de conjuntos):
Passo 1
O enunciado pede o núcleo, a imagem e as dimensões de cada um para a transformação linear
dada por
O conteúdo envolvido é núcleo e imagem de uma TL e o teorema da dimensão (posto-nulidade).
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
isto é, o sistema
Passo 3
Das duas primeiras equações vem
x=y e
z=-y . As outras duas são redundantes e confirmam consistência. Assim,
Como há um parâmetro livre,
dim(ker(T))=1 .
Passo 4
Para a imagem, note que, definindo
temos
Os parâmetros
s,t são livres em
R , pois para dado
(s,t) escolhemos
y arbitrário e definimos
x=s+y ,
z=-t-y .
Passo 5
Logo,
São dois vetores independentes, logo
dim(im(T))=2 .