Determine o núcleo, a imagem e as respectivas dimensões para cada TL (represente-os em forma de conjuntos):
L: R^5 R^3, L(a, b, c, d, e)=(a+3 c-e, c-d+e, a+4 c-d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Lcolon R^5toR^3 por
L(a,b,c,d,e)=l(a+3c-e,;c-d+e,;a+4c-dr)
Precisamos encontrar o núcleo ker(L), a imagem Im(L) e suas dimensões. Vamos usar a resolução de sistemas lineares para ker(L) e o conceito de colunas para Im(L).

Passo 2

Para achar
isto é
Da segunda equação vem . Substituindo em obtém-se , logo essa é redundante. A variável não aparece e também é livre. Assim
Como há três parâmetros livres , segue

Passo 3

Para a imagem coleto as colunas correspondentes às imagens dos vetores canônicos:
Fazendo redução de posto vê-se que dois desses vetores são independentes, por exemplo e . Logo
e

Resposta


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