Determine o núcleo, a imagem e as respectivas dimensões para cada TL (represente-os em forma de conjuntos):
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-y, z+2 x, 2 y+z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3to R^3, T(x,y,z)=(x-y,;z+2x,;2y+z),
e pede o núcleo ( ker T), a imagem ( Im,T) e as dimensões de cada um. Vamos usar a representação matricial no sistema canônico, resolver T(v)=0 para achar o núcleo, e usar as colunas da matriz para obter a imagem, aplicando o teorema da dimensão (posto-nulidade).

Passo 2

Na base canônica, corresponde à matriz
pois

Passo 3

Para
isto é o sistema
Da primeira equação vem , e a terceira fica , que é satisfeita. Logo

Passo 4

A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
Im,T = span(1,2,0),;(-1,0,2),;(0,1,1)
Como
(0,1,1)=tfrac12(1,2,0)+tfrac12(-1,0,2),
bastam duas colunas independentes, por exemplo (1,2,0) e (-1,0,2). Portanto
Im,T = span(1,2,0),;(-1,0,2)

Passo 5

Pela dimensão do domínio ( 3) e do núcleo ( dimker T=1), o teorema posto-nulidade dá
dimIm,T = 3 - dimker T = 3 - 1 = 2
Confirmamos que as duas colunas escolhidas são independentes, logo dimIm,T=2.

Resposta

ker T=t(1,1,-2)mid tinR, dim(ker T)=1
Im,T=span(1,2,0),,(-1,0,2), dim(Im,T)=2

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