Determine o núcleo, a imagem e as respectivas dimensões para cada TL (represente-os em forma de conjuntos):
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede o núcleo (), a imagem () e as dimensões de cada um. Vamos usar a representação matricial no sistema canônico, resolver para achar o núcleo, e usar as colunas da matriz para obter a imagem, aplicando o teorema da dimensão (posto-nulidade).
Passo 2
Na base canônica, corresponde à matriz
pois
Passo 3
Para
isto é o sistema
Da primeira equação vem dá , e a terceira fica , que é satisfeita. Logo
Passo 4
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
Im,T = span(1,2,0),;(-1,0,2),;(0,1,1)
Como
(0,1,1)=tfrac12(1,2,0)+tfrac12(-1,0,2),
bastam duas colunas independentes, por exemplo (1,2,0) e (-1,0,2). Portanto
Im,T = span(1,2,0),;(-1,0,2)
Passo 5
Pela dimensão do domínio (3) e do núcleo (dimker T=1), o teorema posto-nulidade dá
dimIm,T = 3 - dimker T = 3 - 1 = 2
Confirmamos que as duas colunas escolhidas são independentes, logo dimIm,T=2.
Resposta
ker T=t(1,1,-2)mid tinR, dim(ker T)=1 Im,T=span(1,2,0),,(-1,0,2), dim(Im,T)=2