Quais das transformações abaixo são lineares?
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(z, 2^y, 2^z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^3 longrightarrow R^3, T(x,y,z)=l(z,2^y,2^zr)
e pede para verificar se ela é linear. Lembrando que T é linear se, e somente se, para todo u,vinR^3 e todo escalar alpha, vale
  1. T(u+v)=T(u)+T(v), e
  2. T(alpha,u)=alpha,T(u).
    Um teste rápido usa o vetor zero: toda transformação linear deve satisfazer T(0,0,0)=(0,0,0).

Passo 2

Calculemos T(0,0,0):
T(0,0,0)=l(z,2^y,2^zr)|(x,y,z)=(0,0,0) =l(0,2^0,2^0r) =l(0,1,1r)
Como (0,1,1)neq(0,0,0), a condição T(0)=0 falha.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(z,2^y,2^z) não é linear.

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