Determine o núcleo e a imagem da seguinte transformação linear: .
Passo 1
O enunciado apresenta uma transformação linear definida por
Queremos encontrar o núcleo
e a imagem .
Passo 2
Para determinar resolvemos
Da segunda equação segue . Substituindo na primeira:
Logo o único vetor do núcleo é .
Passo 3
Para achar , escrevemos a matriz de na base canônica:
cuja coluna 1 é (2,1) e coluna 2 é (-1,1). Essas duas colunas não são múltiplos uma da outra, então são linearmente independentes em R^2. Como temos 2 vetores independentes em um espaço de dimensão 2, eles geram todo R^2. Portanto Im,T = R^2.