Determine o núcleo e a imagem da seguinte transformação linear: T(x, y)=(2 x-y, x+y).

Passo 1

O enunciado apresenta uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^2 definida por
T(x,y) = (2x - y,;x + y)
Queremos encontrar o núcleo
ker T = (x,y)mid T(x,y)=(0,0)
e a imagem
Im,T = T(x,y)mid (x,y)in R^2.

Passo 2

Para determinar ker T resolvemos
T(x,y) = (0,0) Long<=ftrightarrow 2x - y = 0,;;x + y = 0
Da segunda equação segue y = -x. Substituindo na primeira:
2x - (-x) = 3x = 0 Longrightarrow x = 0,;y = 0
Logo o único vetor do núcleo é (0,0).

Passo 3

Para achar Im,T, escrevemos a matriz de T na base canônica:
[T] = 2 & -1 1 & 1,
cuja coluna 1 é (2,1) e coluna 2 é (-1,1). Essas duas colunas não são múltiplos uma da outra, então são linearmente independentes em R^2. Como temos 2 vetores independentes em um espaço de dimensão 2, eles geram todo R^2. Portanto
Im,T = R^2.

Resposta

ker T = (0,0)
Im,T = R^2

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