Na transformação linear , definida por . Determine:
uma base da imagem e uma base do núcleo
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear dada por
Precisamos encontrar uma base de e uma base de . Para isso, vamos representar pela matriz associada na base canônica e analisar seu espaço coluna e o sistema homogêneo.
Passo 2
A matriz associada na base canônica é
cuja coluna 1 é c1=(2,1) e coluna 2 é c2=(-3,5). O espaço coluna de A é Im,T.
Passo 3
Para verificar a independência linear de c1 e c2, calculamos o determinante
det A = 2cdot5 - (-3)cdot1 = 10 + 3 = 13 neq 0
Logo, c1 e c2 são linearmente independentes e formam uma base de Im,T, que é todo R^2.
Passo 4
Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação segue , subespaço trivial de dimensão zero, cuja base é o conjunto vazio.
Resposta
Base de Im,T: (2,1),,(-3,5).
Base de ker T: emptyset.