Na transformação linear T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(2 x-3 y, x+5 y). Determine:
uma base da imagem e uma base do núcleo

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^2toR^2 dada por
T(x,y) = (2x-3y,;x+5y)
Precisamos encontrar uma base de Im,T e uma base de ker T. Para isso, vamos representar T pela matriz associada na base canônica e analisar seu espaço coluna e o sistema homogêneo.

Passo 2

A matriz associada na base canônica é
A = 2 & -3 1 & 5,
cuja coluna 1 é c1=(2,1) e coluna 2 é c2=(-3,5). O espaço coluna de A é Im,T.

Passo 3

Para verificar a independência linear de c1 e c2, calculamos o determinante
det A = 2cdot5 - (-3)cdot1 = 10 + 3 = 13 neq 0
Logo, c1 e c2 são linearmente independentes e formam uma base de Im,T, que é todo R^2.

Passo 4

Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação segue , subespaço trivial de dimensão zero, cuja base é o conjunto vazio.

Resposta

Base de Im,T: (2,1),,(-3,5).
Base de ker T: emptyset.

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