Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos encontrar o núcleo , a imagem e dizer se é injetiva, sobrejetiva e/ou isomorfismo. Para isso usaremos resolução de sistemas lineares e o teorema dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação e na terceira:
Logo todo elemento do núcleo é da forma
com . Portanto .
Passo 3
Pelo teorema dimensão (rank–nullity) temos
dim M2times2(R)=4, dimker(T)=1 ;Longrightarrow; rank(T)=4-1=3
Como o codomínio R^3 tem dimensão 3, segue que
Im(T)=R^3
e T é sobrejetiva.
Passo 4
Resumo das propriedades:
dimker(T)=1neq0!Rightarrow!T não é injetiva.
Im(T)=R^3!Rightarrow!T é sobrejetiva.
Como não é injetiva, T não é isomorfismo.
Resposta
ker(T)=,c3 & -21 & -1:cinR
Im(T)=R^3
T não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.