Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: M2 times 2(R) R^3 dada por T(lla & b c & d)=(a+b-c, b+2 c, a+b+d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
por
Queremos encontrar o núcleo , a imagem e dizer se é injetiva, sobrejetiva e/ou isomorfismo. Para isso usaremos resolução de sistemas lineares e o teorema dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar
isto é, o sistema
Da segunda equação e na terceira:
Logo todo elemento do núcleo é da forma
com . Portanto .

Passo 3

Pelo teorema dimensão (rank–nullity) temos
dim M2times2(R)=4, dimker(T)=1 ;Longrightarrow; rank(T)=4-1=3
Como o codomínio R^3 tem dimensão 3, segue que
Im(T)=R^3
e T é sobrejetiva.

Passo 4

Resumo das propriedades:
  • dimker(T)=1neq0 !Rightarrow!T não é injetiva.
  • Im(T)=R^3 !Rightarrow!T é sobrejetiva.
  • Como não é injetiva, T não é isomorfismo.

Resposta

ker(T)=,c3 & -21 & -1:cinR
Im(T)=R^3
T não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.

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