Para quais valores de alpha, o sistema lalpha x+y=0 x+(2 alpha+1) y=0 tem
infinitas soluções;

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de alpha em que o sistema homogêneo
alpha x + y = 0, x + (2alpha + 1)y = 0
tem infinitas soluções. O conteúdo usado será álgebra linear: forma matricial de um sistema e o critério de existência de infinitas soluções num sistema homogêneo (determinante nulo implica grau de liberdade).

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, temos
Num sistema homogêneo , para haver infinitas soluções (além da trivial), é necessário e suficiente que .]

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det A = alpha,(2alpha+1) ;-; 1cdot 1 = 2alpha^2 + alpha - 1

Passo 4

Igualamos a zero e resolvemos:
2alpha^2 + alpha - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
alpha = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,
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alpha = -1 ou alpha = tfrac12.

Resposta

alpha = -1 ou alpha = tfrac12.

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