Encontre a transformação linear que satisfaz o que se pede:
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache uma transformação linear
que satisfaz
que satisfaz
O conteúdo principal é ver que, como temos as imagens de três vetores que formam base de
, a transformação fica determinada por uma matriz
.
Passo 2
Vamos checar que os vetores
,
e
são base de
.
Bastam calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como linhas (ou colunas):
Bastam calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como linhas (ou colunas):
Como o determinante é não-nulo, eles são linearmente independentes e formam base.
Passo 3
Logo, existe única matriz
tal que
T(x,y,z)=A,(x,y,z) .
Basta imporA(1,1,1)=(2,3) ,
A(1,0,1)=(4,-1) e
A(1,1,0)=(1,1) e resolver para
a,b,c,d,e,f .
Basta impor
Passo 4
Escrevendo cada condição:
para(1,1,1) temos
para
para
(1,0,1) temos
para
(1,1,0) temos
Isso dá um sistema de seis equações lineares.
Passo 5
Resolvendo as três equações em
substituindo em
resulta em
,
de onde
e
.
Passo 6
Resolvendo as três equações em
substituindo em
dá
,
de onde
e
.
Passo 7
Assim a matriz que representa
T é
e portanto, para todo
(x,y,z)inR^3 ,