Encontre a transformação linear que satisfaz o que se pede:
T: R^3 R^2 com T(1,1,1)=(2,3), T(1,0,1)=(4,-1) e T(1,1,0)=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^2
que satisfaz
T(1,1,1) = (2,3), T(1,0,1) = (4,-1), T(1,1,0) = (1,1)
O conteúdo principal é ver que, como temos as imagens de três vetores que formam base de R^3, a transformação fica determinada por uma matriz 2times3.

Passo 2

Vamos checar que os vetores
(1,1,1), (1,0,1) e (1,1,0) são base de R^3.
Bastam calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como linhas (ou colunas):
det 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 =1neq0
Como o determinante é não-nulo, eles são linearmente independentes e formam base.

Passo 3

Logo, existe única matriz
A = a & b & c d & e & f
tal que T(x,y,z)=A,(x,y,z).
Basta impor A(1,1,1)=(2,3), A(1,0,1)=(4,-1) e A(1,1,0)=(1,1) e resolver para a,b,c,d,e,f.

Passo 4

Escrevendo cada condição:
para (1,1,1) temos
a+b+c=2, d+e+f=3;
para (1,0,1) temos
a+c=4, d+f=-1;
para (1,1,0) temos
a+b=1, d+e=1
Isso dá um sistema de seis equações lineares.

Passo 5

Resolvendo as três equações em
substituindo em resulta em ,
de onde e .

Passo 6

Resolvendo as três equações em
substituindo em ,
de onde e .

Passo 7

Assim a matriz que representa T é
A = 3 & -2 & 1 -3 & 4 & 2 ,
e portanto, para todo (x,y,z)inR^3,
T(x,y,z) = l(3x - 2y + z,,-3x + 4y + 2zr)

Resposta

T(x,y,z) = l(3x - 2y + z,,-3x + 4y + 2zr)

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