Encontre a transformação linear que satisfaz o que se pede:
T: P2(R) P2(R) com T(1)=x+2 x^2, T(1+x)=-1+3 x e T(1+x+x^2)=3.

Passo 1

O enunciado quer uma transformação linear
Tcolon P2(R)to P2(R)
que satisfaz
T(1)=x+2x^2, T(1+x)=-1+3x, T(1+x+x^2)=3
O conteúdo é mudança de base em espaços de polinômios e uso da linearidade para obter a fórmula geral de T.

Passo 2

Observe que
b1=1, b2=1+x, b3=1+x+x^2
é uma base de P2(R). Como temos T(bi) para i=1,2,3, podemos achar T na base padrão 1,x,x^2 expressando x e x^2 em termos de bi.

Passo 3

Escrevemos
x=b2-b1, x^2=b3-b2
Pela linearidade,
T(x)=T(b2)-T(b1)=(-1+3x)-(x+2x^2)=-1+2x-2x^2,
T(x^2)=T(b3)-T(b2)=3-(-1+3x)=4-3x

Passo 4

Para um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^2 temos
T(p(x))=a,T(1)+b,T(x)+c,T(x^2)
Substituindo os resultados:
T(a+bx+cx^2) =a(x+2x^2)+b(-1+2x-2x^2)+c(4-3x)
Agrupando coeficientes:
T(a+bx+cx^2)=(-b+4c)+(a+2b-3c),x+(2a-2b),x^2

Resposta

A transformação linear é
Tl(a+bx+cx^2r)=(-b+4c)+(a+2b-3c),x+(2a-2b),x^2

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