Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe: cujo núcleo seja gerado por e [ll0 & 0 1 & 1] e cuja imagem seja gerada por 1+x^3 e x+x^2.
Passo 1
O enunciado pede T: M2times2(R)to P3(R) tal que ker T=spanl1&00&0,;0&01&1
e ImT=span1+x^3,;x+x^2.
Como dim M2times2=4 e os dois geradores do núcleo são independentes, dimker T=2, logo pelo teorema da dimensão dimImT=4-2=2, que coincide com dimspan1+x^3,x+x^2. Portanto, não há obstrução de dimensão e podemos construir T.
Passo 2
Escolhemos uma base complementar ao núcleo em . Definamos
Então é base de , com e o subespaço complementa esse núcleo.
Passo 3
Definimos T sobre a base e estendemos linearmente por:
T(A)=0, T(B)=0, T(C)=1+x^3, T(D)=x+x^2
Assim todo Min M2times2 é combinação linear M=alpha A+beta B+gamma C+de<a D e
T(M)=gamma,(1+x^3)+de<a,(x+x^2)
Passo 4
Para ver a fórmula em função das entradas de , note que