Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: M2 times 2(R) P3(R) cujo núcleo seja gerado por [ll1 & 0 0 & 0] e [ll0 & 0 1 & 1] e cuja imagem seja gerada por 1+x^3 e x+x^2.

Passo 1

O enunciado pede T: M2times2(R)to P3(R) tal que
ker T=spanl1&00&0,;0&01&1
e
ImT=span1+x^3,;x+x^2.
Como dim M2times2=4 e os dois geradores do núcleo são independentes, dimker T=2, logo pelo teorema da dimensão dimImT=4-2=2, que coincide com dimspan1+x^3,x+x^2. Portanto, não há obstrução de dimensão e podemos construir T.

Passo 2

Escolhemos uma base complementar ao núcleo em . Definamos
Então é base de , com e o subespaço complementa esse núcleo.

Passo 3

Definimos T sobre a base e estendemos linearmente por:
T(A)=0, T(B)=0, T(C)=1+x^3, T(D)=x+x^2
Assim todo Min M2times2 é combinação linear M=alpha A+beta B+gamma C+de<a D e
T(M)=gamma,(1+x^3)+de<a,(x+x^2)

Passo 4

Para ver a fórmula em função das entradas de , note que
Logo e , obtemos
Dessa forma
  • e , mostrando correto.
  • Claramente .

Resposta

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