Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Aqui o domínio tem dimensão (base usual ) e o contradomínio tem dimensão . Vamos achar o núcleo (soluções de ) e a imagem de , e decidir injetividade/sobrejetividade.
Passo 2
Escrevemos o sistema homogêneo em forma matricial:
Fazendo eliminação de Gauss nesta matriz , chega-se à forma escalonada reduzida
ou seja, a única solução é
Passo 3
Do sistema acima concluímos que
ker(T)=,0,,
logo dimker(T)=0. Como dim P3(R)=4, pelo teorema do posto
dimIm(T)=4-0=4
Passo 4
O contradomínio R^4 tem dimensão 4 e dimIm(T)=4, portanto
Im(T)=R^4
Isto mostra que T é injetiva (ker trivial) e sobrejetiva (imagem todo R^4). Como é bijetiva entre espaços de mesma dimensão finita, T é um isomorfismo.
Resposta
Núcleo: ker(T)=0.
Imagem: Im(T)=R^4. T é injetiva, sobrejetiva e, portanto, um isomorfismo.