Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: P3(R) R^4 dada por T(a+b x+c x^2+d x^3)=(a+2 b+c-d, 3 a-2 b+c+d, a-b-c-d, a+b+3 c-2 d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P3(R)toR^4, Tl(a + b x + c x^2 + d x^3r) =(a+2b+c-d,;3a-2b+c+d,;a-b-c-d,;a+b+3c-2d)
Aqui o domínio tem dimensão dim P3(R)=4 (base usual 1,x,x^2,x^3) e o contradomínio tem dimensão 4. Vamos achar o núcleo (soluções de T(p)=0) e a imagem de T, e decidir injetividade/sobrejetividade.

Passo 2

Escrevemos o sistema homogêneo em forma matricial:
Fazendo eliminação de Gauss nesta matriz , chega-se à forma escalonada reduzida
ou seja, a única solução é

Passo 3

Do sistema acima concluímos que
ker(T)=,0,,
logo dimker(T)=0. Como dim P3(R)=4, pelo teorema do posto
dimIm(T)=4-0=4

Passo 4

O contradomínio R^4 tem dimensão 4 e dimIm(T)=4, portanto
Im(T)=R^4
Isto mostra que T é injetiva (ker trivial) e sobrejetiva (imagem todo R^4). Como é bijetiva entre espaços de mesma dimensão finita, T é um isomorfismo.

Resposta

Núcleo: ker(T)=0.
Imagem: Im(T)=R^4.
T é injetiva, sobrejetiva e, portanto, um isomorfismo.

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