Determine quais das transformações a seguir são lineares:
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y+z,-x y, x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (,x+y+z,;-xy,;x,)
é linear.
Conteúdo: definição de transformação linear e testes de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, e somente se, valem simultaneamente para quaisquer vetores u,vinR^3 e qualquer escalar alphainR:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(alpha,u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 3

Note que o segundo componente de T é -xy, que envolve produto dos dois primeiros componentes de (x,y,z). Em geral, produtos não se comportam de forma linear. Por exemplo, tome
u=(1,0,0), v=(0,1,0)
Então
u+v=(1,1,0),
logo
T(u+v) = T(1,1,0) = (,1+1+0,;-1cdot1,;1,) = (2,,-1,,1)
Por outro lado,
T(u) = T(1,0,0) = (1,,0,,1), T(v) = T(0,1,0) = (1,,0,,0),
e portanto
T(u)+T(v) = (1,0,1)+(1,0,0) = (2,0,1)
Como
T(u+v) = (2,-1,1)neq(2,0,1) = T(u)+T(v),
a aditividade falha.

Passo 4

Bastou um contraexemplo para mostrar que T não satisfaz a condição de linearidade.

Resposta

A transformação T não é linear.

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