Determine quais das transformações a seguir são lineares:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é linear.
Conteúdo: definição de transformação linear e testes de aditividade e homogeneidade.
Conteúdo: definição de transformação linear e testes de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Recordando a definição,
é linear se, e somente se, valem simultaneamente para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 3
Note que o segundo componente de
é
, que envolve produto dos dois primeiros componentes de
. Em geral, produtos não se comportam de forma linear. Por exemplo, tome
Então
logo
Por outro lado,
e portanto
Como
a aditividade falha.
Passo 4
Bastou um contraexemplo para mostrar que
não satisfaz a condição de linearidade.
Resposta
A transformação
não é linear.