Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: P2(R) M2 times 2(R) cuja imagem seja gerada por [ll1 & 0 0 & 1] e [ll0 & 2 3 & 1].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon P2(R)to M2times2(R)
tal que
Im(T)=spangl1 & 00 & 1,,0 & 23 & 1gr
Vamos usar teoria de transformação linear, dimensão de espaço e estender a aplicação a partir de uma base de P2(R).

Passo 2

Verificamos que as duas matrizes são linearmente independentes. De fato, se
alpha1 & 00 & 1 + beta0 & 23 & 1 = 0 & 00 & 0,
então analisando entradas obtemos
alpha=0 e beta=0.
Logo diml(spanA,Br)=2. Como dim P2(R)=3, existe transformação de posto 2 que realize esse espaço imagem.

Passo 3

Escolhemos a base canônica de P2(R):
1,,x,,x^2. Definimos então
T(1) = 1 & 00 & 1, T(x) = 0 & 23 & 1, T(x^2) = 0 & 00 & 0

Passo 4

Estendendo linearmente, para p(x)=a + b x + c x^2 temos
Tl(a + b x + c x^2r) = a,T(1) + b,T(x) + c,T(x^2) = a1 & 00 & 1 + b0 & 23 & 1
Como T(x^2)=0, fica claro que
Im(T) = spanlT(1),,T(x)r = spanlA,,Br

Resposta

Definindo
Tl(a + b x + c x^2r) = a1 & 00 & 1 + b0 & 23 & 1,
obtém-se uma transformação linear Tcolon P2(R)to M2times2(R) cuja imagem é exatamente o espaço gerado por
1 & 00 & 1 e 0 & 23 & 1.

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