Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe: cuja imagem seja gerada por e [ll0 & 2 3 & 1].
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon P2(R)to M2times2(R)
tal que
Im(T)=spangl1 & 00 & 1,,0 & 23 & 1gr
Vamos usar teoria de transformação linear, dimensão de espaço e estender a aplicação a partir de uma base de P2(R).
Passo 2
Verificamos que as duas matrizes são linearmente independentes. De fato, se
alpha1 & 00 & 1 + beta0 & 23 & 1 = 0 & 00 & 0,
então analisando entradas obtemos alpha=0 e beta=0.
Logo diml(spanA,Br)=2. Como dim P2(R)=3, existe transformação de posto 2 que realize esse espaço imagem.
Passo 3
Escolhemos a base canônica de P2(R): 1,,x,,x^2. Definimos então