Encontre a transformação linear que satisfaz o que se pede:
T: P2(R) M2 times 2(R) com T(1-x)=[ll1 & 1 0 & 1], T(1+x)=[ll0 & 1 2 & 1] e T(x^2)=[ll1 & 2 1 & 1].

Passo 1

O enunciado pede achar a transformação linear
Tcolon P2(R) to M2times2(R)
determinada por
T(1 - x) = 1 & 1 [2pt]0 & 1, T(1 + x) = 0 & 1 [2pt]2 & 1, T(x^2) = 1 & 2 [2pt]1 & 1
Para definir T em qualquer polinômio, vamos obter primeiro T(1) e T(x) a partir de T(1 - x) e T(1 + x).]

Passo 2

Note que
(1 - x) + (1 + x) = 2 e (1 + x) - (1 - x) = 2x
Logo
1 = (1 - x) + (1 + x)2, x = (1 + x) - (1 - x)2
Aplicando T e usando linearidade, obtemos fórmulas para T(1) e T(x).

Passo 3

Pela linearidade de T temos
T(1) = T(1 - x) + T(1 + x)2, T(x) = T(1 + x) - T(1 - x)2
Substituindo as matrizes dadas:
T(1) = 12l(1 & 1 0 & 1 + 0 & 1 2 & 1r) = tfrac12 & 1 [2pt]1 & 1,
T(x) = 12l(0 & 1 2 & 1 - 1 & 1 0 & 1r) = -tfrac12 & 0 [2pt]1 & 0 ]

Passo 4

Seja um polinômio genérico
p(x) = a + b,x + c,x^2
Pela linearidade,
Tl(p(x)r) = a,T(1) + b,T(x) + c,T(x^2)

Passo 5

Somando as matrizes com coeficientes a,b,c obtemos
T(a + b x + c x^2) = atfrac12&1[2pt]1&1 + b-tfrac12&0[2pt]1&0 + c1&2[2pt]1&1 = tfraca - b + 2c2 & a + 2c [4pt] a + b + c & a + c ]

Resposta

A transformação T é dada por
Tl(a + b x + c x^2r) = a - b + 2c2 & a + 2c [4pt] a + b + c & a + c ]

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