Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear dada por
Precisamos encontrar o núcleo e a imagem de e decidir se ela é injetiva, sobrejetiva e/ou um isomorfismo.
Passo 2
Na base canônica, a matriz de é
Para verificar invertibilidade, calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet!1&11&1 -2cdotdet!-1&11&1 +1cdotdet!-1&11&1 = 0 -2cdot(-2) -2 = 2 neq 0
Passo 3
Como , a matriz é invertível, logo . Disso segue que o sistema homogêneo
só admite a solução trivial, e que o espaço coluna de tem dimensão 3. Portanto
Passo 4
Uma transformação linear com núcleo trivial é injetiva. Como sua imagem é todo o espaço de chegada, ela também é sobrejetiva. Sendo injetiva e sobrejetiva, T é um isomorfismo.
Resposta
ker T = (0,0,0), Im T = R^3. T é injetiva, sobrejetiva e, portanto, um isomorfismo.