Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2 y+z,-x+y+z, x+y+z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3 to R^3 dada por
T(x,y,z) = (,x + 2y + z,,-x + y + z,,x + y + z)
Precisamos encontrar o núcleo e a imagem de T e decidir se ela é injetiva, sobrejetiva e/ou um isomorfismo.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Para verificar invertibilidade, calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet!1&11&1 -2cdotdet!-1&11&1 +1cdotdet!-1&11&1 = 0 -2cdot(-2) -2 = 2 neq 0

Passo 3

Como , a matriz é invertível, logo . Disso segue que o sistema homogêneo
só admite a solução trivial, e que o espaço coluna de tem dimensão 3. Portanto

Passo 4

Uma transformação linear com núcleo trivial é injetiva. Como sua imagem é todo o espaço de chegada, ela também é sobrejetiva. Sendo injetiva e sobrejetiva, T é um isomorfismo.

Resposta

ker T = (0,0,0), Im T = R^3.
T é injetiva, sobrejetiva e, portanto, um isomorfismo.

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